2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 3.2.1 双曲线及其标准方程

第三章

圆锥曲线的方程3.2

双曲线3.2.1

双曲线及其标准方程

(教师独具内容)课程标准：1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．教学重点：双曲线的定义及标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导．核心素养：1.通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养.2.通过求解双曲线的标准方程，提升数学运算素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一双曲线(1)定义平面内与两个定点F1，F2的__________________等于非零常数(__________)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)双曲线的集合描述设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线的集合语言描述为P＝{M|_____________________________}．距离的差的绝对值小于|F1F2|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|[注意]

(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了．(2)不可漏掉定义中的常数小于|F1F2|，否则，当2a＝|F1F2|时，||PF1|－|PF2||＝2a表示两条射线；当||PF1|－|PF2||>2a时，不表示任何图形．(3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支．焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程__________________________________________知识点二双曲线的标准方程(－c，0)焦点坐标F1________；F2________F1__________；F2_______a，b，c的关系____________(c，0)(0，－c)(0，c)c2＝a2＋b2[说明]

焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线的标准方程的类型．焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正．1．(双曲线的定义)已知平面内两个定点F1(－3，0)，F2(3，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则点P的轨迹为(

)A．椭圆 B．线段C．双曲线的一支 D．一条射线(－1，＋∞)核心素养形成题型一双曲线的标准方程

(－∞，－1)∪(0，＋∞)题型二双曲线定义的应用269题型三求与双曲线有关的轨迹方程【感悟提升】

求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定位、定形)；(2)根据已知条件确定参数a，b的值(定参)；(3)写出标准方程并下结论(定论)．题型四双曲线的实际应用问题

【感悟提升】

解决应用问题时，应由题干抽象出数学问题即数学模型，先解决数学问题，再回归到实际应用中．本例由题意能得到所求界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．由于没有坐标系，因此需先建立坐标系，并确定方程的形式，再用待定系数法求方程．此题极易忽略x和y的取值范围．因此在实际问题中，要注意由实际意义确定变量的取值范围．【跟踪训练】4．如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地的距离远2km.现要在河岸PQ上选一处M建码头，向B，C两地转运货物．经测算，修建公路的费用是a万元/km，则修建这两条公路的总费用最低是多少？随堂水平达标解析：由双曲线的标准方程可知a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，故c＝5.又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(－5，0)，(5，0)．解析：∵A，B在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，∴|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a，∴|BF1|＋|AF1|＝4a＋m.∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.(3，＋∞)课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点与双曲线有关的轨迹问题由双曲线与椭圆焦点的关系求参数由方程识别图象双曲线的焦点三角形与平面向量的综合双曲线的焦点三角形问题对方程表示的曲线的理解由双曲线的焦点坐标求参数题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★考点双曲线定义的应用定义法求与双曲线有关的轨迹方程双曲线的定义与标准方程利用双曲线的定义解决最值问题双曲线的定义、标准方程与新定义的综合双曲线的焦点三角形问题双曲线的实际应用问题一、选择题1．已知F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(

)A．双曲线、一条直线 B．双曲线、一条射线C．双曲线的一支、一条直线 D．双曲线的一支、一条射线解析：依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线．故选D.3．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(

)解析：由已知，得a2＝m，b2＝3，∴m＋3＝9，∴m＝6.69．已知定点A(3，0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆P和圆C相外切，并且过点A，则动圆圆心P的轨迹方程为________________．三、解答题10．在平面直角坐标系Oxy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且|AB|＝8，|BC|＝6，其中A(－4，0)，B(4，0)．(1)若A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，求该椭圆的方程；(2)若A，B为双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，求该双曲线的方程．14．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m，试确定该巨响发生的位置(假定当时的声音传播速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)．解：如图所示，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系，设A，B，C分别是正西、正东、正北方向的观测点，