2026《金版教程》数学选择性必修第一册B版第二章 章末总结

第二章

平面解析几何章末总结知识系统整合规律方法收藏学科素养培优目录知识系统整合规律方法收藏解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．三两直线的平行与垂直由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线的方程．结合方向向量和法向量，与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，与直线l垂直的直线可设为Bx－Ay＋C2＝0.直线的方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的等价条件l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0垂直的等价条件l1⊥l2⇔k1k2＝－1l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0四距离问题五圆的方程1．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．2．由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆．3．求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．六点与圆的位置关系1．点在圆上(1)如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上．(2)如果点到圆心的距离等于圆的半径，那么该点在圆上．2．点不在圆上(1)若点的坐标满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F>0，则该点在圆外；若满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F<0，则该点在圆内．(2)点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；点到圆心的距离小于半径，则点在圆内．注意：若点P是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离为dmax＝|PC|＋r，最小距离为dmin＝|PC|－r.七直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线的方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断公共点的个数)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断)．(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r.(2)当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若切线所过点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数．八圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断，即根据公共点的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径r，R的和、差的大小关系来判断)．(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长．(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.九求轨迹方程的几种常用方法1．直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．2．代入法：利用所求曲线上的动点与某已知曲线上的一动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标来表示已知动点的坐标并代入已知动点坐标满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点的轨迹方程．3．定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．4．参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．用参数求轨迹方程的关键在于选择适当的参数，其选择原则如下：(1)动点的运动是随着参数的变化而变化的，即参数能反映动点的变化特征；(2)参数与题设的已知量有密切的联系．常用的参数有物理参数(时间、速度、位移)和几何参数(角度、有向线段的数量、斜率、点坐标)等．十椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质学科素养培优一、直线方程几种形式的应用直线方程的几种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用几种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．典例1直线l过点(2，1)和第一、二、四象限，若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6，求直线l的方程．【素养提升】选择合适的直线方程的形式可减少运算量，但要注意所选形式的适用条件，注意讨论特殊情况．二、直线的平行与垂直问题考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择：一是直线的方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y轴上的截距处理；二是直线的方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距处理，也可直接利用系数处理．典例2已知直线l1：ax＋by＋6＝0和直线l2：(a－1)x＋y＋2＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，0)，且直线l1和l2垂直；(2)若直线l1和l2平行，且直线l1在y轴上的截距为－3.【素养提升】两条直线的平行与垂直一般从斜率入手分析，注意讨论斜率不存在的情况．三、与直线有关的对称问题在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称．1．中心对称(1)两点关于点对称，设P1(x1，y1)，M(a，b)，则P1(x1，y1)关于M(a，b)对称的点为P2(2a－x1，2b－y1)，也即M为线段P1P2的中点．特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)．(2)两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P对称的点在另外一条直线上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距离相等．2．轴对称(1)两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上，解这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程组．(2)两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称．①当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；②当l1∥l2∥l时，l1到l的距离等于l2到l的距离．典例3

已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4，5)关于直线l的对称点的坐标；(2)直线y＝x－2关于直线l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．【素养提升】解决直线中点、直线对称问题的关键是用好垂直和平分，另外要注意特殊点的运用．四、圆的几何性质的运用圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对称中心，任意一条直径所在的直线是对称轴．圆具有许多重要的几何性质，如下：【素养提升】(1)充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．(2)对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．五、直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆问题的类型(1)直线与圆的位置关系．(2)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．(3)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解．2．圆与圆问题的类型(1)圆与圆的位置关系的判断．(2)求两圆的公切线方程或公切线的条数的应用．【素养提升】

1．判断直线与圆的位置关系的一般方法(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．(2)代数法：将直线的方程与圆的方程联立，整理得到一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆与圆位置关系问题的解题策略(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．六、圆锥曲线的定义、方程及性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．典例6

(1)已知动圆M的半径为r，动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆的圆心M的轨迹方程．(3)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，求点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值．【素养提升】(1)①解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述；②要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．(2)求离心率的思路是：利用圆锥曲线的几何性质以及定义构造出含a，b，c或e的方程，再通过解方程求结果．七、直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系综合题的解题规律如下：(1)引参，设直线或圆锥曲线的方程，并设出直线与圆锥曲线的交点坐标，如A(x1，y1)，B(x2，y2)．(2)将直线的方程与圆锥曲线的方程联立得方程组，消去y(或x)得到关于x(或y)的方程f(x)＝0(或f(y)＝0)．此方程可能是一元二次方程，也可能是二次项系数含参的一元二次方程(这种情况应注意对二次项系数的讨论)，然后列出Δ>0的条件及根与系数的关系．(3)试用A(x1，y1)与B(x2，y2)的坐标x1，y1，x2，y2表示题中条件，得条件式(*)．(4)利用点A，B在直线上，将条件式(*)中坐标进行统一，都转化为关于x1，x2(或y1，y2)的条件式(*)′.(5)应用根与系数的关系整体代入条件(*)′，求出参数或其他．(6)与Δ>0联立验证求解结果或其他．【素养提升】在求解直线与圆锥曲线位置关系的综合题时，一元二次方程的判别式、弦长公式是代数法解决问题的常用工具，“设而不求”“整体代入”思想是简化运算的有力手段，同时注意结合其他知识(如方程、不等式、