2026《金版教程》数学选择性必修第一册B版2.7.2 抛物线的几何性质

第二章平面解析几何2.7抛物线及其方程2.7.2

抛物线的几何性质课程标准：1.了解抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.了解抛物线的简单应用．教学重点：抛物线的几何性质．教学难点：抛物线的几何性质的应用．核心素养：1.通过利用抛物线的方程、图形研究抛物线的几何性质培养直观想象素养和数学抽象素养.2.通过应用抛物线的几何性质解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养．(教师独具内容)核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点抛物线的几何性质y≥0y≤0x轴y轴O(0，0)e＝1核心素养形成题型一抛物线的简单几何性质

例1

(1)(多选)下列说法中正确的是(

)A．抛物线关于顶点对称B．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心C．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同D．抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的解析对于A，抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A错误；对于B，抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心，所以B正确；对于C，所有抛物线的离心率为1，所以抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同，所以C正确；对于D，抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，都为2，所以D正确．故选BCD.(2)求抛物线y2＝8x的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴、变量x的取值范围．解析抛物线y2＝8x的顶点坐标为(0，0)，焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2，对称轴为x轴，变量x的取值范围为[0，＋∞)．【感悟提升】抛物线与椭圆、双曲线几何性质的联系与区别(1)联系：三种曲线都有范围、对称轴、顶点和离心率四个基本的几何性质．(2)区别①椭圆和双曲线都是中心对称图形，但抛物线不是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率的取值范围是0＜e＜1，双曲线的离心率的取值范围是e＞1，抛物线的离心率是e＝1；⑤椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式．【跟踪训练】1．(1)(多选)平面内到定点F(0，1)和到定直线l：y＝－1的距离相等的动点的轨迹为曲线C，则(

)A．曲线C的方程为x2＝4yB．曲线C关于x轴对称C．当点P(x，y)在曲线C上时，y≥0D．当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2解析：由抛物线定义，知曲线C是以点F(0，1)为焦点，直线l：y＝－1为准线的抛物线，则p＝2，故其方程为x2＝4y，故A正确；抛物线x2＝4y关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误；由x2＝4y知y≥0，故C正确；当点P在曲线C上时，由于抛物线x2＝4y开口向上，当点P位于原点时，到直线l的距离最小，为1，故点P到直线l的距离d≥1，故D错误．故选AC.【感悟提升】利用抛物线的简单性质求抛物线的标准方程的步骤【跟踪训练】2．(1)以x轴为对称轴，坐标原点为顶点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是(

)A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y解析：依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)．因为焦点到准线的距离为4，所以p＝4，所以2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C.(2)已知抛物线C同时满足以下三个条件：①C的顶点在坐标原点；②C的对称轴为坐标轴；③C的焦点F在圆(x－2)2＋y2＝9上．则C的方程为________(写出一个满足题意的即可)．题型三抛物线几何性质的应用

例3

(1)已知直线x＝t交抛物线y2＝4x于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得AC⊥BC，则t的取值范围为_____________．[4，＋∞)(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．【感悟提升】利用抛物线的性质可以解决的问题(1)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．(2)顶点、对称性：解决抛物线的内接三角形问题．(3)范围：解决与抛物线有关的最值、范围问题．随堂水平达标5．已知点M(1，m)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，且|MF|＝2(F为焦点)，若P为C上的一个动点，点Q的坐标为(3，0)，则|PQ|的最小值为________．课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点抛物线的对称性由抛物线的几何性质求标准方程求点的坐标的取值范围与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的综合问题抛物线的顶点、对称性、准线与抛物线有关的最值问题题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★考点抛物线几何性质的综合应用由抛物线的几何性质求标准方程由抛物线的几何性质求标准方程抛物线几何性质的综合应用抛物线几何性质的综合应用；余弦定理求点的轨迹方程；抛物线的对称性、顶点、范围抛物线的实际应用一、选择题1．若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是(

)A．(－m，－n) B．(m，－n)C．(－m，n) D．(－n，－m)解析：由抛物线关于x轴对称易知，点(m，－n)一定在该抛物线上．2．抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为4，则抛物线的方程为(

)A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝－4y D．x2＝－8y3．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，PQ⊥l于点Q.若△PQF是锐角三角形，则点P的横坐标的取值范围是(

)A．(0，1) B．(1，＋∞)C．(0，2) D．(2，＋∞)二、填空题6．顶点在原点，对称轴为y轴且经过点(4，1)的抛物线的准线与对称轴的交点坐标是________．解析：依题意，设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，则有42＝2p×1，即2p＝16，于是抛物线的方程为x2＝16y，其准线方程为y＝－4，准线与对称轴的交点坐标是(0，－4)．(0，－4)410．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程及|OM|的值．12．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线C上的两个动点，若x1＋x2＋2＝2|MN|，则∠MFN的最大值为________．13．在平面直角坐标系xOy中，点P到直线l：x＝－3的距离比到点F(3，0)的距离大2.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)请指出曲线C的对称性、顶点和范围，并运用其方程说明理由．1