2026《金版教程》数学选择性必修第一册B版2.3.3　 直线与圆的位置关系

第二章

平面解析几何2.3圆及其方程2.3.3直线与圆的位置关系课程标准：1.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．教学重点：直线与圆的三种位置关系及其判定方法．教学难点：用代数方法探求直线与圆的位置关系的过程．核心素养：通过判定直线与圆的位置关系以及解决有关圆的切线、弦长问题培养直观想象素养、数学抽象素养和数学运算素养．(教师独具内容)核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握位置关系交点个数相交有_______公共点相切只有_______公共点相离_______公共点知识点一直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系，列表如下：两个一个没有知识点二直线与圆位置关系的判定方法(1)代数法直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk，Δ>0⇔直线l与圆M_______；Δ＝0⇔直线l与圆M_______；Δ<0⇔直线l与圆M_______．相交相切相离(2)几何法直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)，半径为r的圆，圆心M到直线l的距离d＝______________．d<r⇔直线l与圆M________；d＝r⇔直线l与圆M________；d>r⇔直线l与圆M________．相交相切相离[拓展]

圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2.1．(直线与圆相交)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(

)A．l与C相交 B．l与C相切C．l与C相离 D．以上均有可能2．(直线与圆相离)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(

)A．(0，2] B．(1，2]C．(0，2) D．(1，2)核心素养形成题型一直线与圆位置关系的判定

例1

(1)已知圆O：x2＋y2＝1，直线lα：xcosα＋ysinα＋1＝0，α∈R，则直线lα与圆O的位置关系是(

)A．相离 B．相交C．相切 D．都有可能(2)已知圆的方程是x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，直线与圆有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？【感悟提升】直线与圆位置关系的判定方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线的方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点且定点在圆内，则可判断直线与圆相交，这种方法适用于动直线问题．【跟踪训练】1．(1)直线l：y－1＝k(x－1)与圆C：x2＋y2－2y＝0的位置关系是(

)A．相离

B．相切或相交C．相交

D．相切解析：直线l过定点A(1，1)，因为将点A的坐标代入圆C方程中，得12＋12－2×1＝0，所以点A在圆上．因为直线x＝1过点A且为圆的切线，又直线l的斜率存在，所以直线l与圆C一定相交．故选C.(2)已知直线的方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆：①有两个公共点？②只有一个公共点？③没有公共点？题型二圆的切线问题

例2

(1)经过点(－3，4)且与圆x2＋y2＝25相切的直线的方程是________________．3x－4y＋25＝0(2)经过点(2，4)且与圆x2＋y2＝4相切的直线的方程是___________________．x＝2或3x－4y＋10＝0

(3)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆作切线，切线长的最小值是________．4

(2)若点(x0，y0)在圆外(有两条切线)①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，则可得切线方程；②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，则可得切线方程．当用上述方法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．提醒：已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况．(2)过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为_________________________．y＝4或3x＋4y－13＝0(3)已知O为坐标原点，点P(0，1)，圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，点Q为圆C上的一动点，则∠POQ的最小值为________．(4)若过直线y＝x＋1上一点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，Q为切点，则|PQ|的最小值为________．题型三直线被圆截得的弦长问题

例3

(1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，求其中最短的弦长．(2)已知直线l：2x－y－1＝0与圆C：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B两点，求|AB|.【跟踪训练】3．已知圆M：x2＋y2－2x－2y－6＝0，直线l过点P(3，2)且与圆M交于A，B两点．(1)当|AB|最小时，求直线l的方程；(2)当|AB|＝4时，求直线l的方程．【感悟提升】直线与圆综合应用的策略(1)与圆有关的最值问题，大多与弦、切线、割线和圆心到直线的距离有关，解题时要抓住圆心和半径这两个关键因素．(2)灵活应用垂径定理、勾股定理、切线长定理等几何性质进行解题．(3)与圆有关的实际问题，常常建立平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题进行解决．(4)利用数形结合思想优化解题思路．随堂水平达标2．直线ax＋y－a＝0(a∈R)与圆x2－4x＋y2＝0的位置关系是(

)A．相离

B．相交C．相切D．无法确定解析：由ax＋y－a＝0变形得y＝－a(x－1)，所以直线ax＋y－a＝0恒过定点(1，0)，圆x2－4x＋y2＝0可化为(x－2)2＋y2＝4，因为(1－2)2＋02<4，所以点(1，0)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，所以直线ax＋y－a＝0与圆x2－4x＋y2＝0相交．故选B.－2(－8，2)5．已知点A(1，a)，B(5，0)，直线y＝2x上不存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数a的取值范围是________．课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点判断直线与圆的位置关系已知弦长求圆的方程求弦长过圆外一点的圆的两条切线的夹角直线过定点问题；判断直线与圆的位置关系；求最短弦长求圆的切线方程构造斜率公式求代数式的最值题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★考点圆上一点到直线的距离的最值；求切线长判断直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式已知直线与圆相切求圆的方程；已知弦长求直线的方程由直线与圆的位置关系求参数的取值范围求圆的切线方程求圆的方程；求圆的切线方程；由直线与圆的位置关系求参数的取值范围判断直线与圆的位置关系；求两切点所在直线的方程；直线过定点问题2．直线3x－4y＋10＝0与以点C(－1，－2)为圆心的圆相交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的方程为(

)A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 B．(x－1)2＋(y－2)2＝25C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝53．如图，已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.这艘轮船能被海监船监测到的时长为(

)A．1h B．0.75hC．0.5h D．0.25h5．(多选)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：(m＋1)x＋2y－1＋m＝0(m∈R)，则(

)A．直线l恒过定点(－1，1)B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1C．直线l与圆C有两个交点D．当m＝1时，直线l被圆C截得的弦长最短二、填空题6．过点P(3，－2)且与圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0相切的直线的方程为______________________．x＝3或3x＋4y－1＝0

8．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则点P到直线AB的距离的最大值为__________；当∠PBA最大时，|PB|＝________．三、解答题9．已知直线l：mx＋y＋m－1＝0与圆O：x2＋y2＝3.(1)试判断直线l与圆O的位置关系，并说明理由；(2)若直线l与圆O交于A，B两点，分别过点A，B的圆O的切线互相垂直，求m的值．13．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(0，3)，设圆C的半径为1，圆心C(a，b)在直线l：y＝2x－4上．(1)若圆心C也在直线y＝－x＋5上，求圆C的方程；(2)在(1)的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(3)若圆C上存在点M，使|