2026《金版教程》数学选择性必修第一册B版2.2.4　点到直线的距离

第二章

平面解析几何2.2直线及其方程2.2.4点到直线的距离课程标准：1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.2.会求两条平行直线间的距离．教学重点：点到直线的距离公式，两条平行直线之间的距离．教学难点：点到直线的距离公式的推导过程．核心素养：1.通过学习点到直线的距离公式的推导过程培养逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养.2.通过利用点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式解决问题进一步提升数学运算素养．(教师独具内容)核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握距离[点拨]

(1)求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式．(2)利用公式求平行线之间的距离时，两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．(3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．①两条直线都与x轴垂直时，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；②两条直线都与y轴垂直时，若l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.－9或11核心素养形成(2)已知P1(2，3)，P2(－4，5)与点A(－1，2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程．【感悟提升】点到直线的距离的求解方法(1)把直线的方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点P(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．【跟踪训练】1．(1)求点P0(－1，2)到下列直线的距离：①2x＋y－10＝0；②x＋y＝2；③y－1＝0.

(2)已知坐标平面内两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，求实数m的值．题型二两条平行直线之间的距离

例2

(1)平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0之间的距离为________．(2)直线l1：2x＋y－4＝0，l2：2x＋y＋2＝0，则与直线l1，l2距离相等的直线的方程为______________．2x＋y－1＝0

(2)与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0之间的距离为2的直线的方程为________________________________________．题型三距离公式的应用

例3

(1)已知点P(m，n)是直线3x＋4y－12＝0上的一点，求(m－1)2＋(n－2)2的最小值．(2)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．①若点A(5，0)到l的距离为3，求直线l的方程；②求点A(5，0)到l的距离的最大值．【感悟提升】距离公式应用的三种常见类型(1)最值问题①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值．(2)求参数问题利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．(3)求方程的问题立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线的方程，在此基础上借助三种距离公式求解．【跟踪训练】3．已知两条直线l1与l2，直线l1经过点(0，3)，直线l2经过点(4，0)，且l1∥l2.(1)若l1与l2之间的距离为4，求两条直线的方程；(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两条直线的方程．随堂水平达标3．若点A(4，3)，B(3，5)到直线l：2x＋ay＋1＝0的距离相等，则a＝(

)A．1 B．－1C．1或－2 D．－1或25．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和直线l2：x＋y－5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为________．课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点求点到直线的距离已知两条平行直线之间的距离求参数求点到直线的距离的最值利用点到直线的距离公式解决最值问题已知两条平行直线之间的距离求参数；求点到直线的距离的最值已知点到直线的距离求参数的取值范围求两条平行直线之间的距离题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★考点利用点到直线的距离公式解决最值问题点到直线的距离公式在平面几何中的应用；求直线的方程点到直线的距离公式、两条平行直线之间的距离公式在平面几何中的应用；求直线的方程利用点到直线的距离公式解决最值问题线关于线对称；求两条平行直线之间的距离点到直线的距离公式在平面几何中的应用利用点到直线的距离公式、两点间距离公式解决最值问题二、填空题6．点P(2，)到直线x＋y＋t＝0的距离不超过2，则实数t的取值范围是_____________．[－9，－1]7．已知直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：x－2y＋4＝0，在l1上任取一点A，在l2上任取一点B，连接AB，取AB上靠近点A的三等分点C，过C作l1的平行线l3，则l1与l3间的距离为________．三、解答题9．在△ABC中，已知点A(3，3)，B(2，－2)，C(－7，1)，求∠A的平分线AD所在直线的方程．10．已知正方形的中心为点M(－1，0)，一条边所在直线的方程是x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．12．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为________．13．已知平面内三点A，B，C.若这三点构成三角形，且BC＝BA，建立适当的坐标系，用解析法证明：底边AC上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．14．已