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文档简介

回 顾1、定解问题边界条件2、定解问题分类与适定性3、二阶线性偏微分方程相关概念4、常系数线性偏微分方程通解1第1页方程通解和特解

普通地，一个n阶常微分方程通解含有n常数。一个n阶偏微分方程通解含有n个任意函数。2第2页数学物理方程分类考查二元二次方程：二次型主轴定理3第3页类似地，二阶线性偏微分方程一定能够改写为以下“形式”：4第4页由二次型性质可知，上述分类方法在区域上任一点总是可行；但方程在不一样点可能属于不一样类型。5第5页两个自变量情形显然，弦横振动方程和杆纵振动方程是双曲型方程；一维扩散和传导方程是抛物型方程；二维静电场方程是椭圆型方程。（三维波动方程、扩散和传导方程以及三维Poisson方程和Schrödinger方程是什么类型方程？）6第6页常系数线性偏微分方程7第7页行波法d’Alembert公式

行波法是以自变量线性组合作变量代换，对方程进行求解一个方法，它对波动方程类型问题求解十分有效.一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：8第8页9第9页d’Alembert公式10第10页齐次偏微分方程求解（P172）d’Alembert公式应用2.非齐次偏微分方程求解该体系在外力作用下开始振动，能够看作外界连续给体系施加以冲量，体系振动即为连续冲量效果叠加。从这一思路出发求解问题被称为冲量原理法。11第11页12第12页依据以上分析，易得上述纯受迫振动解为：13第13页例7.5求解以下定解问题：14第14页例7.6求解以下定解问题：15第15页求出问题通解，然后再结合定解条件确定满足对应初始条件和边界条件特解，仅对非常有限问题适用，很多定解问题极难直接求出通解。更为普遍处理方法是把泛定方程和定解条件作为整体处理，直接求出定解问题解。16第16页1.行波法；2.分离变量法；3.幂级数解法；4.格林函数法；

5.积分变换法；6.保角变换法；7.变分法；8.计算机

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