高等基础数学3

常数项级数的概念与性质01正项级数及其审敛法02交错级数及其审敛法03幂级数04函数展开成幂级数05函数的幂级数展开式的应用0601常数项级数的概念与性质12.1.1常数项级数的概念定义设有数列{un},把它的项依次用加号连起来,所得的式子

称为级数(12-1)的前n

项和.当n

依次取1,2,3,…时,它们构成一个新的数列12.1.1常数项级数的概念

12.1.1常数项级数的概念

12.1.1常数项级数的概念例3证明级数解

1+2+3+…+n+…是发散的.此级数的部分和为显然,,因此所给级数是发散的.12.1.2级数的性质根据无穷级数收敛、发散以及和的概念,可以证明级数的下述性质.性质1若级数

性质2若级数和均收敛,和分别为s,σ,即,则级数收敛,且和为s±σ,即有12.1.2级数的性质式(12-3)所描述的运算规律叫作级数的逐项相加(减)法则.(12-3)性质2也可叙述为:两个收敛级数逐项相加(减)构成的新级数仍然收敛,且新级数的和为相应级数和的对应运算.性质3

在级数中去掉、增加或改变有限项,不会改变级数的收敛性.12.1.2级数的性质证明性质4

级数级数与去掉首项后所得级数同时收敛或同时发散,表明级数去掉1项不改变敛散性;同时也可以看作增加1项变成,表明级数增加1项不改变敛散性.以此类推,去掉或增加有限项也不改变敛散性.由于改变有限项可看作去掉有限项再增加有限项,因此改变有限项也不改变敛散性.收敛,那么对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.证明略.(根据收敛数列与其子数列的关系可证)12.1.2级数的性质性质5(级数收敛的必要条件)设级数收敛,则必有

证明级数的一般项与部分和有如下关系:

12.1.2级数的性质假设级数收敛于s,则可以表述为:收敛级数的一般项必收敛(无限趋近)于零.其逆否命题也成立,如下:推论如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.例如,级数

由于它的一般项不趋于零,因此该级数发散.

12.1.3柯西审敛原理由级数和数列的关系,我们可得判别级数敛散性的一个定理.定理(柯西审敛原理)级数收敛的充要条件:对于任意给定的正数ε,总存在

恒成立.12.1.3柯西审敛原理证明

恒成立.结论得证.设级数的部分和为Sn,则级数收敛的充要条件为数列Sn收敛.02正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法一般的常数项级数,它的各项可以是正数、负数和零.现在我们先讨论各项都是正数或零的级数,这种级数称为正项级数.正项级数作为一类重要级数有着重要的作用,以后我们将看到很多级数的敛散性问题都可归结为正向级数的敛散性问题.本节主要介绍正项级数敛散性的审敛法则及其相关证明.定义设级数

正项级数及其审敛法

定理1正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界.根据定理1,判定正项级数(12-4)的敛散性时,可以将一个敛散性已知的正项级数与它做比较,从而可以确定它的部分和是否有界,这样也就能确定级数(12-4)的敛散性.按照这个逻辑,就可以得出另一个判断正项级数敛散性的审敛法则———比较审敛法.正项级数及其审敛法定理2(比较审敛法)(1)如果级数设及为两个正项级数.(1)如果级数

也收敛;

也发散.证明(1)设级数

的部分和

正项级数及其审敛法

(2)设级数

收敛,则由(1)的结论,必收敛,这与条件发散相矛盾,因此,也发散.

正项级数及其审敛法例1判定级数解的敛散性.因为,而级数是收敛的等比级数,根据比较审敛法知级数敛法知级数收敛.在用比较审敛法判别级数是否收敛时,需要与另一个已知收敛或发散的级数进行比较,这个作为比较用的级数叫作基准级数.在使用比较审敛法时,我们常用等比级数以及下面要讨论的p级数作为基准级数.正项级数及其审敛法定理3(比较审敛法的极限形式)那么及

设为两个正项级数,如果

收敛时,也收敛;发散时,级数也发散.正项级数及其审敛法

即有不等式

即un<vn,由比较审敛法知,当级数收敛时,也收敛.正项级数及其审敛法

极限形式的比较审敛法,在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下,其实是比较它们的一般项作为无穷小量的阶.定理3表明,当n→∞时,如果un是与

vn同阶或是比vn高阶的无穷小,而级数收敛,那么级数收敛;如果un是与vn同阶或是比vn低阶的无穷小,而级数发散,那么级数也发散.正项级数及其审敛法定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)

设

发散;为正项级数,且

,则

正项级数及其审敛法因此这样,级数

的各项就小于收敛的等比级数(公比r<1)

的对应项,由比较审敛法可知级数收敛.正项级数及其审敛法

即

正项级数及其审敛法

正项级数及其审敛法例5判定级数解的敛散性.

正项级数及其审敛法定理5(根值审敛法,柯西判别法)

设

发散;为正项级数,如果,那么根值审敛法的证明思路与比值审敛法的证明思路一致,请读者自己完成.正项级数及其审敛法例8判别级数解的敛散性.由于(<1)根据根值审敛法知所给级数是收敛.03交错级数及其审敛法12.3.1交错级数的定义定义1

或特别说明:由于交错级数(12-7)的各项乘-1后就变成级数(12-6)的形式,且不改变敛散性,因此,我们只需讨论级数(12-6)的敛散性即可.12.3.2交错级数的审敛法则定理1(交错级数审敛法,莱布尼茨定理

)如果交错级数(12-6)满足条件:

及

12.3.2交错级数的审敛法则

12.3.2交错级数的审敛法则

证毕.

12.3.2交错级数的审敛法则例1判定交错级数解的敛散性.

12.3.3绝对收敛与条件收敛前面讨论的正项级数、交错级数都是形式比较特殊的级数.下面讨论一般形式的级数:定义2给定级数

(12-8)(12-9)

,当级数收敛时,称级数绝对收敛.如果级数收敛,而它的各项取绝对值所成的级数发散,那么称级数是条件收敛的.12.3.3绝对收敛与条件收敛定理2绝对收敛的级数必然收敛,但收敛的级数未必绝对收敛.证明设级数收敛.令

的对应项,于是由比较审敛法知,正项级数收敛,从而也收敛.而由

12.3.2交错级数的审敛法则知级数因此,根据级数的基本性质,可知级数是由两个收敛级数逐项相减而成的:

收敛.04幂级数12.4.1函数项级数的一般概念前面我们讨论了常数项级数的部分基本理论,现在我们将讨论应用更为广泛的函数项级数.定义设给定一个定义在区间

I上的函数列

则式子(12-10)

12.4.1函数项级数的一般概念例如(12-11)=1+x+x2+⋯+xn+⋯

及(12-12)

(12-13)12.4.1函数项级数的一般概念

12.4.1函数项级数的一般概念例如,级数(12-11)的和函数为

12.4.2幂级数及其收敛区间函数项级数中简单而常见的一类级数就是幂级数,它的形式是

(12-14)

12.4.2幂级数及其收敛区间前面已经讨论过幂级数(12-11)的敛散性.这个幂级数的收敛域是开区间(-1,1),发散域是(-∞,-1]U[1,+∞）,在开区间(-1,1)内,其和函数为11-x,即

注意到,这个幂级数的收敛域是一个区间.下面的定理表明,如果幂级数仅在x=0这一点处收敛,那么它的收敛域必定是一个区间.

12.4.2幂级数及其收敛区间定理1幂级数(1)仅在x=0处收敛;

的敛散性必为下述三种情形之一:(2)在(一∞,+∞）内处处绝对收敛；(3)存在确定的正数R,当x<R

时,绝对收敛,当x>R

时,发散.这个定理我们不予证明.12.4.2幂级数及其收敛区间定理1所列情形(3)中的正数R称为幂级数

12.4.2幂级数及其收敛区间定理2设幂级数

的系数满足

那么,对于它的收敛半径R

可分为如下三种情形:

12.4.2幂级数及其收敛区间证明幂级数的后项与前项之比的绝对值为

显然收敛.即级数

定理证毕.12.4.2幂级数及其收敛区间例1求幂级数解

的收敛半径和收敛区间.因为

所以收敛半径于是收敛区间为(-1,1).

12.4.3幂级数的运算设幂级数及

12.4.3幂级数的运算

关于幂级数的分析运算,有下面这些重要结论.(证明略)

12.4.3幂级数的运算逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径R;

反复应用这个结论可得:幂级数

12.4.3幂级数的运算例如,已知

利用结论(2),逐项求导可得

05函数展开成幂级数12.5.1泰勒级数的概念

于是

从而

(12-15)12.5.1泰勒级数的概念

(12-16)

12.5.1泰勒级数的概念

(12-17)

(12–18)

12.5.2函数展开成幂级数的方法1.直接展开法

并求出其收敛半径R;12.5.2函数展开成幂级数的方法

12.5.2函数展开成幂级数的方法

按上述步骤求得函数幂级数展开式的方法叫作直接展开法.12.5.2函数展开成幂级数的方法2.间接展开法

(12–19)(12–20)(12–21)12.5.2函数展开成幂级数的方法

(12-23)对式(12-20)两边求导,可得(12-24)

12.5.2函数展开成幂级数的方法

式(12-19)、(12-20)、(12-22)、(12-23)、(12-24)五个展开式是最常用的,记住前三个,后两个也就掌握了.06函数的幂级数展开式的应用12.6.1近似计算有了函数的幂级数展开式,就可以用它来进行近似计算,即在展开式成立的区间上,可以按照精确度要求,选取幂级数的前若干项的部分和,把函数值近似地计算出来.利用幂级数不仅可计算一些函数的近似值,而且可计算一些定积分的近似值.

解

因为

例112.6.1近似计算

于是取近似式为

为了使四舍五入引起的误差(叫作舍入误差)与截断误差之和不超过10-4,计算时应取五位小数,再四舍五入,这样最后得计算定积分例4

于是

12.6.1近似计算取前四项的和作为近似值,其误差为

所以

12.6.1近似计算12.6.2微分方程的幂级数解法利用幂级数求解微分方程例5这里,我们简单介绍一阶微分方程和二阶齐次线性微分方程的幂级数解法.满足的特解.解设微分方程的特解为由

可以得到根据上式两端可得

12.6.2微分方程的幂级数解法解得于是这就是所求的特解.

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