2026《金版教程》数学选择性必修第一册B版1.1.2　空间向量基本定理

第一章

空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量基本定理课程标准：1.理解共面向量定理并会应用.2.了解空间向量基本定理及其意义．教学重点：1.运用共线向量基本定理与共面向量定理解决共线问题与共面问题.2.空间向量基本定理的应用．教学难点：1.证明四点共面问题.2.运用空间向量基本定理解决问题．核心素养：通过对共线向量基本定理、共面向量定理以及空间向量基本定理的学习提升数学抽象素养和逻辑推理素养．(教师独具内容)核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一共线向量基本定理如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝_______.λa唯一c＝xa＋yb不共线知识点三空间向量基本定理(1)如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在________的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________．特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0⇔_____________．表达式____________一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．(2)如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量．因此，空间中不共面的三个向量a，b，c组成空间向量的一组_______，记为{a，b，c}．此时，a，b，c都称为__________；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底____________下的分解式．唯一xa＋yb＋zcx＝y＝z＝0xa＋yb＋zc基底基向量{a，b，c}[点拨]

(1)基底与基向量的区别：一组基底是由三个不共面的基向量组成的．(2)基底的选择：几何体中往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底．(3)建立基底的作用：将空间不同向量用同一组基底表示，便于判断向量与向量之间的关系(如共线、共面等)．1．(空间向量基本定理)若{a，b，c}是空间向量的一组基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间向量的另一组基底的向量是(

)A．a B．b

C．c D．2a－83核心素养形成题型一共线向量

例1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心．证明：A1，G，C三点共线．【感悟提升】1．判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)判断向量共线的关键：找到实数λ.题型二共面向量题型三空间向量基本定理【感悟提升】用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量组成空间向量的一组基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一组基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．题型四利用空间向量基本定理求数量积【感悟提升】利用空间向量基本定理求数量积的步骤(1)确定空间向量的一组基底；(2)将所求向量用基底线性表示出来；(3)利用向量数量积的运算律将数量积展开，转化为只含基向量的数量积；(4)利用数量积的定义求解．随堂水平达标2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间向量的一组基底的是(

)A．a，2b，b－cB．2b，b－2a，b＋2aC．3a，a－b，a＋2bD．c，a＋c，a－c－30课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点判断(证明)向量共面利用空间向量基本定理求参数利用空间向量基本定理求数量积利用共面向量定理求参数空间向量基本定理的概念利用共线向量基本定理和共面向量定理求参数利用空间向量基本定理求参数题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★考点利用共线向量基本定理和共面向量定理求参数；用基底表示向量判断(证明)三点共线判断(证明)四点共面；利用空间向量基本定理求参数空间向量的基底利用共线向量基本定理求参数用基底表示向量；利用空间向量基本定理求数量积利用空间向量基本定理和共面向量定理证明定值问题一、选择题1．若{a，b，c}是空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是(

)A．b＋c，b，b－c B．a，a＋b，a－bC．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c21三、解答题9．如图，已知M，N分别为四面体A－BCD中△BCD与△ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．11．已知λ，μ∈R，下列可使非零向量a，b，c组成的集合{a，b，c}成为空间向量的一组基底的条件是(

)A．b＝λc

B．a，b，c两两垂直C．a＝λb＋μc

D．a＋b＋c＝0解析：由基底的定义可知，只有非零向量a，b，c不共面时才能构成空间向量的一组基底．对于A，b＝λc，则b，c共线，由向量特性可知，空间中任意两个向量是共面的，所以a与b，c共面，故A不符合题意；对于B，因为非零向量a，b，c两两垂直，所以非零向量a，b，c不共面，可构成空间向量的一组