2026《金版教程》数学选择性必修第一册B版1.2.2　第2课时　空间中平面与平面平行、垂直的证明

第一章

空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量第2课时空间中平面与平面平行、垂直的证明课程标准：能用向量语言表述平面与平面的垂直与平行关系．教学重点：1.用向量方法解决平面与平面平行、垂直的证明问题.2.三垂线定理及其逆定理．教学难点：三垂线定理及其逆定理的应用．核心素养：通过运用平面的法向量证明面面平行与垂直培养逻辑推理素养和直观想象素养．(教师独具内容)核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一平面与平面平行、垂直的判定已知n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔____________；n1∥n2⇔________________________．α1⊥α2α1∥α2，或α1与α2重合知识点二三垂线定理及其逆定理(1)射影①已知空间中的平面α以及点A，过A作α的_________，设l与α相交于点A′，则A′就是_________________的射影(也称为投影)．②空间中，图形F上__________在平面α内的_______所组成的集合F′，称为图形F在平面α内的射影．垂线l点A在平面α内所有点射影(2)三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内的___________与平面的一条斜线在该平面内的_______垂直，则它也和这条斜线垂直．②三垂线定理的逆定理：如果平面内的__________和这个平面的___________垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．一条直线一条直线一条斜线射影[点拨]

(1)从条件上看，三垂线定理的条件是平面内的直线和斜线的射影垂直，其逆定理的条件是平面内的直线和斜线垂直．(2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题，而逆定理正好相反．(3)不论定理还是逆定理，已知直线必须是平面内的一条直线．1．(平面与平面平行)已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(

)A．(4，2，－2) B．(2，0，4)C．(2，－1，－5) D．(4，－2，2)2．(平面与平面垂直)已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．3．(三垂线定理及其逆定理)已知菱形ABCD的对角线相交于点O，平面ABCD外有一点P，且PO⊥平面ABCD，则直线PA与BD所成的角等于________．590°核心素养形成题型一利用空间向量证明面面平行

例1如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点，AB＝2，DE＝4.求证：平面BDM∥平面EFC.【感悟提升】证明面面平行的三种方法(1)通过向量的坐标运算，得到两平面的法向量后，通过证明两法向量共线而得到结论．(2)通过向量的坐标运算，得到某一平面的法向量后，通过证明该法向量与另一平面也垂直而得到结论．(3)通过向量的坐标运算，得到线线或线面平行后，再证明面面平行．【跟踪训练】1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?题型二利用空间向量证明面面垂直

例2如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)求证：AP⊥BC；(2)若M是线段AP上一点，且AM＝3.证明：平面AMC⊥平面BMC.【感悟提升】证明面面垂直的三种方法(1)证明一个平面过另一个平面的垂线，即转化为证明线面垂直．(2)证明两平面的法向量垂直．(3)证明其中一个平面的法向量平行于另一个平面．【跟踪训练】2．在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：(1)平面EFG⊥平面PBC；(2)EG⊥BC，PG⊥EG.题型三三垂线定理及其逆定理的应用

例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点．求证：EO⊥平面A1DB.证明证法一：如图，取F，G分别为DD1，AD的中点，连接EF，FG，GO.由正方体的性质知FG为EO在平面ADD1A1内的射影，CO为EO在平面ABCD上的射影．又A1D⊥FG，∴A1D⊥EO(三垂线定理)．又AC⊥BD，∴EO⊥BD(三垂线定理)．又A1D∩BD＝D，A1D，BD⊂平面A1DB，∴EO⊥平面A1DB.【感悟提升】用三垂线定理及其逆定理证明直线与直线垂直的关键是构造三垂线定理的基本图形．构造基本图形有以下三个环节：【跟踪训练】3．如图，P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，若O，Q分别是△ABC和△PBC的垂心，且PQ∩AO＝E，求证：OQ⊥平面PBC.证明:

如图，连接BO并延长交AC于点F，连接BQ并延长交PC于点M，连接FM.∵O是△ABC的垂心，∴BC⊥AE，∵Q是△PBC的垂心，∴BC⊥PE，又AE∩PE＝E，AE，PE⊂平面PAE，∴BC⊥平面PAE，∵OQ⊂平面PAE，∴OQ⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BF⊂平面ABC，∴BF⊥PA，∵O是△ABC的垂心，∴BF⊥AC.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BF⊥平面PAC，则FM是BM在平面PAC上的射影，∵Q为△PBC的垂心，∴BM⊥PC，由三垂线定理的逆定理，得FM⊥PC，又BM∩FM＝M，BM，FM⊂平面BFM，∴PC⊥平面BFM，又OQ⊂平面BFM，∴OQ⊥PC，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴OQ⊥平面PBC.随堂水平达标1．两个不同的平面α和β，平面α的一个法向量为v1＝(1，2，1)，平面β的一个法向量为v2＝(2，4，2)，则平面α与平面β(

)A．平行 B．垂直C．相交 D．不能确定解析：由题意知v1＝(1，2，1)，v2＝(2，4，2)，则v2＝2v1，即v1，v2共线，则α∥β.故选A.2．平面α的一个法向量为(3，1，－2)，平面β的一个法向量为(－1，1，k)，若α⊥β，则k＝(

)A．－2 B．2C．1 D．－1解析：因为α⊥β，所以3×(－1)＋1×1＋(－2)×k＝0，解得k＝－1.故选D.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D与BD1的位置关系为(

)A．相交

B．平行C．垂直

D．无法判断解析：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以AB⊥平面ADD1A1，故BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1.又因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D，因此根据三垂线定理可得A1D⊥BD1.故选C.4．(多选)已知v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中，正确的是(

)A．v1∥v2⇔l1∥l2 B．v1⊥n1⇔l1⊥αC．n1∥n2⇔α∥β D．n1⊥n2⇔α⊥β解析：对于A，v1∥v2⇔l1∥l2，A正确；对于B，v1⊥n1⇔l1⊂α或l1∥α，B错误；对于C，n1∥n2⇔α∥β，C正确；对于D，n1⊥n2⇔α⊥β，D正确．故选ACD.5．已知平面α的一个法向量为(2，－4，－2)，平面β的一个法向量为(－1，2，k)，若α∥β，则k＝________．1课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点利用空间向量判断两个平面的位置关系根据面面垂直求参数三垂线定理的逆定理利用空间向量判断两个平面的位置关系利用空间向量判断线线、线面、面面的位置关系根据面面平行求参数利用空间向量判断面面垂直题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★考点三垂线定理利用空间向量证明线面垂直；利用空间向量证明面面平行利用空间向量证明线面垂直；利用空间向量证明面面垂直利用空间向量判断线线、线面、面面的位置关系根据面面垂直求参数利用空间向量证明面面平行；关于线面平行的探索性问题利用空间向量证明线面平行；利用空间向量证明面面垂直一、选择题1．若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3，5)，v＝(－3，1，－4)，则(

)A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确2．(多选)若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，且α⊥β，n1＝(1，2，x)，n2＝(x，x＋1，x)，则x的值可能是(

)A．1 B．2C．－1 D．－2解析：因为α⊥β，所以n1·n2＝(1，2，x)·(x，x＋1，x)＝x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1或x＝－2.故选CD.3．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是点P在平面ABC内的射影，则点G是△ABC的(

)A．内心 B．外心

C．垂心 D．重心解析：连接AG，BG(图略)，则AG，BG分别为PA，PB在平面ABC内的射影．因为PA⊥BC，所以由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC，同理，BG⊥AC，所以点G是△ABC的垂心．故选C.4．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则(

)A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．以上都不对二、填空题6．设平面α，β的法向量分别为m＝(1，－2，3)，n＝(－3，y，z)．若α∥β，则y＋z＝________．－37．已知a＝(1，1，0)，b＝(1，－1，0)，c＝(0，0，－3)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．解析：因为a·b＝(1，1，0)·(1，－1，0)＝1－1＋0＝0，故a⊥b，所以α⊥β；因为a·c＝(1，1，0)·(0，0，－3)＝0，故a⊥c，所以α⊥γ；因为c·b＝(0，0，－3)·(1，－1，0)＝0，故c⊥b，所以γ⊥β，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有3对．3垂直三、解答题9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D交于