高等代数CAI课件

高等代数课件陇南师范高等专科学校数学系2008年制作第二章矩阵2.1矩阵的定义2.3矩阵的加法和数乘运算2.4矩阵的乘法2.6初等变换2.7可逆矩阵2.8矩阵的分块2.1矩阵的定义

1.矩阵设F是一个数域.由F中的mn个数aij排成的一个m行n列的表叫做F上的一个矩阵.A也简记作(aij).为了表示A的行数和列数,有时也把它记作Amn

或(aij)mn.

2.零矩阵元素全为零的矩阵称为零矩阵,记作O.

3.负矩阵设A=(aij)是一个矩阵,则称矩阵(–aij)是A的负矩阵,记作–A.

4.单位矩阵我们把主对角线(从左上角到右下角的对角线)上的元素都是1而其它元素都是0的n阶正方阵(如右所示)称为n阶单位矩阵.记作In,或简记为I.

5.双重求和号

双重求和号

的含义是先对第二个求和号求和,再对第一个求和号,即:容易证明,双重求和可以交换次序,即:2.3矩阵的加法与数乘运算

定义1

数域F中的数a与F上一个m

n矩阵

A=(aij)的乘积

Aa指的是m

n矩阵(aaij).

定义2

两个m

n矩阵A=(aij)与B=(bij)的和

A+B指的是m

n矩阵(aij+bij).

两个m

n矩阵A=(aij)与B=(bij)的差

A–B定义为A–B=A+(–B).

运算性质:A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)O+A=AA+(–A)=Oa(A+B)=aA+aB(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)AA+B=C

A=C–B2.3矩阵的乘法《高等代数》面向21世纪新教材《高等代数》面向21世纪新教材矩阵乘法的定义矩阵乘法的性质课件导航结束作业小结新课讲授先从一个例子开始:第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：

假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格，得到如下价格矩阵(人民币/千克).第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：

第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：

设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分别是3千克、4千克、2千克。则需求矩阵B表示为：

这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：这个计算过程也可以用如下的矩阵形式来表示：

第一周：12

×3+11×4+6×

2=92（元）

第二周：11

×3+11×4+7×

2=91（元）

第三周：11

×3+10×4+7×

2=87（元）

定义设A=(aij)是m×n矩阵，B=(bij)是n×p矩阵，则A与B的乘积AB是一个m×p矩阵，这个矩阵的第i行第j

列位置上的元素cij等于A的第i行的元素与B的第j列的对应元素的乘积的和.即运算过程演示演示返回点击矩阵的乘法也可以表示为由矩阵的定义可以看出:当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时,两个矩阵才可以相乘。乘积矩阵AB中第i行第j列的元素

等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素乘积之和。简记作前行乘后列。1.2.返回想一想:两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？矩阵要满足什么条件才能相乘呢？矩阵的乘法是否满足交换律呢?1.2.3.矩阵的乘法适合消去律吗?4.下页例1例2,3,4例5,例6矩阵乘法的性质:矩阵乘法满足的性质:结合律

(AB)C=A(BC),

其中A=(aij)m×n,B=(bij)n×p,C=(cij)p×q.

2.

数乘结合律

k(AB)=(kA)B=A(kB),

其中k为任意实数.A=(aij)m×s

，B=(bij)s×n.

3.分配律

(A+B)C=AC+BC,

其中A,B都为m×n矩阵,

C是n×p矩阵.C(A+B)=CA+CB,

其中C为m×n

矩阵,

A,

B都为n×s矩阵.

返回这一节主要讲了矩阵乘法的定义,矩阵乘法的性质.小结矩阵乘法的定义

主要讲了矩阵乘法的定义,矩阵相乘的条件:前列数等于后行数.矩阵乘法的法则:前行乘后列.矩阵乘法的性质矩阵乘法不满足交换律,不适合消去律.矩阵乘法满足结合律,满足乘法对加法的分配律.返回2.7可逆矩阵一.基本概念二.矩阵可逆的条件三.求逆矩阵的方法四.矩阵乘积的秩与行列式一.基本概念

1.逆矩阵

定义1

令A是数域F上的一个n阶矩阵.若存在F上的一个n阶矩阵B使得

AB=BA=I,则称A是一个可逆矩阵(或非奇异矩阵),并称B是A的逆矩阵.

注:1)可逆矩阵必须是正方阵,但并非每一个正方阵都是可逆矩阵.例如零矩阵就不是可逆矩阵,因为它与任何矩阵的乘积都是零矩阵而不可能是单位矩阵.

2)如果一个矩阵可逆,则它的逆矩阵是唯一的.我们将把可逆矩阵A的唯一的逆矩阵记作A1.

3)两个可逆矩阵A和B的乘积矩阵AB仍是一个可逆矩阵,且(AB)1=B1A1.

4)可逆矩阵A的转置A'也可逆,且(A')1=(A1)’.

2.初等矩阵

以下三种矩阵Pij,Di(k),Tij(k)

称为初等矩阵.i行j行j列i列

注:

1)Pij是交换单位矩阵的第i行与第j行或第i列与第j列后得到的矩阵.

2)Pij是可逆矩阵,且(Pij)–1=Pij

3)设A是一个m

n矩阵,则交换A的第i行与第j行相当于把A左乘以m阶矩阵Pij,交换A的第i列与第j列相当于把A右乘以n阶矩阵Pij.i列i行

注:

1)Di(k)是把单位矩阵的第i行与第i列的元素乘以k后得到的矩阵.

2)Di(k)是可逆矩阵,且

3)设A是一个m

n矩阵,则用数k乘A的第i行相当于把A左乘以m阶矩阵Di(k),用数k乘A的第i列相当于把A右乘以n阶矩阵Di(k).

k0i行j行j列i列

1)Tij(k)是把单位矩阵的第j行(或第i列)的k的倍加到它的第i行(或第j列)后得到的矩阵.

2)Tij(k)是可逆矩阵,且Tij(k)–1=Tij(

k)

3)设A是一个m

n矩阵,则把A的第j行乘以数k后加到第i行相当于把A左乘以m阶矩阵Tij(k),把A的第i列乘以数k后加到第j列相当于把A右乘以n阶矩阵Tij(k).

3.矩阵的行列式

n阶矩阵的唯一的一个n阶子式叫做矩阵A的行列式,记作|A|.

易见:|A’|=|A|.二.矩阵可逆的条件

引理2.7.1

设对正方阵A施行一个初等变换后得到一个矩阵

,那么A可逆的充要条件是

可逆.

定理2.7.2

一个m

n矩阵A总可以经过初等变换化为如下形式:其中r是矩阵A的秩,Ir表示一个r阶单位矩阵,Ost表示s

t阶零矩阵.

定理2.7.3

n阶矩阵A可逆当且仅当它可以写成初等矩阵的乘积.

定理2.7.4

n阶矩阵A可逆当且仅当A的秩等于n.

定理2.7.5

n阶矩阵A可逆当且仅当它的行列式|A|0.

注

一个n阶可逆矩阵A总可以只用行的初等变换而化为单位矩阵.三.求逆矩阵的方法

1.初等变换法

设A是一个n阶可逆矩阵,则对A施行一系列行的初等变换后可把它化为单位矩阵I,即存在初等矩阵E1,E2,…,Es

使Es…E2E1A=I,将此式两端同乘以A1后得Es…E2E1I=A1.这个等式说明,对单位矩阵施行行的初等变换就可以得到A的逆矩阵,所施行的变换与把A化为单位矩阵时的初等变换相同.

用初等变换求n阶可逆矩阵A的逆矩阵的方法是:

把A与一个与它同阶的单位矩阵I放在一起构成一个n

2n阶的矩阵(A,I),它的前n列是A,后n列是I.然后对(A,I)施行行的初等变换,直至把它的前n列变为单位矩阵,这时它的后n列就是A的逆矩阵.

例1

求矩阵

的逆矩阵.(演示计算过程)三.求逆矩阵的方法

2.伴随矩阵法

设A=(aij)是一个n阶方阵,Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式,则称矩阵为矩阵A的伴随矩阵.利用余子式的性质,可得当A可逆时|A|0,由上式可得:

,由此得求逆矩阵的公式:四.矩阵乘积的秩与行列式

引理2.7.6

一个n阶矩阵A总可以经过第三种行和列的初等变换化为一个对角矩阵并且|A|=

定理2.7.7

设A,B是两个n阶矩阵,那么|AB|=|A||B|.

定理2.7.8

两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩.特别地,当有一个因子是可逆矩阵时,乘积的秩等于另一个因子的秩.2.8