相似三角形的判定-巩固练习

相似三角形的判定--巩固练习相似三角形的判定是平面几何中的核心内容之一，它不仅是证明线段成比例、角相等的重要工具，也为后续学习三角函数、圆的性质等奠定了坚实基础。要熟练掌握相似三角形的判定，除了深刻理解判定定理的条件和适用范围外，更离不开有针对性的练习与反思。本文将通过一系列精心设计的练习，帮助读者巩固相似三角形的判定方法，并深化对相关知识的理解与应用。一、判定定理回顾与核心要点在开始练习之前，我们先简要回顾相似三角形的主要判定定理，这是解决所有相关问题的出发点：1.两角分别相等的两个三角形相似（AA或AAA判定）：若一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似。这是最常用也最基本的判定方法，因为三角形内角和为定值，所以只要找到两组对应角相等即可。2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定）：若一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，则这两个三角形相似。这里务必注意“夹角”的条件，若不是夹角，即使两边成比例，也不能判定相似。3.三边成比例的两个三角形相似（SSS判定）：若一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相似。4.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（HL判定的推广）：对于直角三角形，除了上述一般三角形的判定方法外，若斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。这可以看作是“SSS”或“SAS”的特殊情况。核心要点强调：*“对应”是关键词，无论是角还是边，必须明确其对应关系。*比例线段的顺序性，在表达比例时，要注意边的对应位置。*灵活选择判定方法，根据题目给出的已知条件，选择最直接、简便的判定途径。二、巩固练习（一）基础辨析与直接应用1.判断题：*有一个角相等的两个等腰三角形相似。（）*所有的等边三角形都相似。（）*两个直角三角形一定相似。（）*两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形相似。（）分析与提示：这类问题旨在考察对判定定理条件的准确理解。例如，第（1）题，等腰三角形的相等角可能是顶角也可能是底角，若一个三角形的顶角与另一个三角形的底角相等，未必相似。第（4）题，关键在于这个“角”是否为夹角。2.选择题：如图1（示意图，读者可自行构想一个常见图形：△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E），DE∥BC，下列结论正确的是（）A.△ADE∽△ABC(AA)B.△ADE∽△ACB(AA)C.AD/DB=AE/ECD.AD/AB=DE/BC分析与提示：本题结合了平行线的性质（同位角相等）和相似三角形的判定与性质。由DE∥BC，可得到对应角相等，从而判定相似，再根据相似三角形的性质得到对应边成比例。（二）条件补充与判定方法选择3.填空题：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'=60°。*若再添加条件__________，则可由“AA”判定△ABC∽△A'B'C'。*若已知AB=4，A'B'=2，AC=6，A'C'=3，则可由__________判定△ABC∽△A'B'C'。分析与提示：第一空考察“AA”判定的直接应用，只需再找一组对应角相等即可。第二空则需要计算对应边的比例关系，看是否满足“SAS”或“SSS”。这里AB/A'B'=4/2=2，AC/A'C'=6/3=2，且夹角∠A=∠A'，故满足“SAS”。4.解答题：已知：如图2（示意图：△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D），在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高。求证：△ACD∽△ABC∽△CBD。分析与提示：这是一个非常经典的“母子相似”模型。要证明三个三角形两两相似，可先证△ACD∽△ABC。它们有公共角∠A，且都有一个直角（∠ADC=∠ACB=90°），根据“AA”即可判定。同理可证△CBD∽△ABC，进而得到三者相似。（三）综合应用与技巧提升5.探究题：如图3（示意图：△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，BD=CE，DE的延长线交BC的延长线于点F），在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且BD=CE，DE的延长线交BC的延长线于点F。求证：EF/FD=AB/AC。分析与提示：要证明线段比例式，常考虑通过相似三角形。但图中直接相似的三角形并不明显。此时可以考虑添加辅助线，例如过点D作DG∥AC交BC于G，构造相似三角形（△FDG∽△FEC），再利用已知条件BD=CE以及平行线分线段成比例定理进行转化。6.实际应用题：小明想测量校园内一棵大树的高度。他站在距离树根部B点若干米的A处，测得树顶C的仰角为α。然后他向树的方向前进了一段距离到达A'处，再次测得树顶C的仰角为β。若小明的眼睛离地面的高度始终为h（视为定值），请你用含α、β、h的式子表示树的高度。分析与提示：这是一个利用相似三角形解决实际测量问题的典型案例。可以将小明的眼睛、树顶、树根部以及两次观测点构成两个直角三角形（或包含公共部分的直角三角形），这两个直角三角形相似（因为有公共角或两组角对应相等），通过对应边成比例即可求解。三、解题思路与技巧归纳通过以上练习，我们可以总结出一些解相似三角形判定题目的常用思路与技巧：1.仔细审题，明确已知与求证：首先要清楚题目给出了哪些条件（边、角的大小或关系），需要我们证明什么结论（相似或线段比例等）。2.观察图形，寻找已知角或等角：特别注意公共角、对顶角、直角、角平分线、平行线所形成的同位角、内错角等，这些往往是“AA”判定的突破口。3.分析线段关系，计算比例：若已知边的长度或比例关系，尝试计算对应边的比值，看是否满足“SAS”或“SSS”的条件。4.构造辅助线：当直接条件不足时，构造平行线是常用的辅助线方法，它可以产生相等的角和比例线段，为相似判定创造条件（如练习5）。5.“一线三垂直”、“母子型相似”等模型识别：熟悉一些常见的相似基本模型，能帮助我们快速找到解题思路。6.注意对应关系：在书写相似表达式和比例式时，务必注意顶点的对应顺序，避免因对应错误导致结论错误。四、总结与反思相似三角形的判定，其核心在于“对应”和“比例”。通过有针对性的练习，我们不仅要熟练掌握判定定理的“形”，更要理解其“神”，即为什么这样的条件就能判定相似。每做完一道