小学六数学《求阴影部分面积》练习题

在小学六年级的数学学习中，求阴影部分面积是平面几何知识的综合运用，既考验同学们对基本图形面积公式的掌握程度，也锻炼大家的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力。这类题目形式多样，技巧性较强，常常让一些同学感到棘手。其实，只要掌握了正确的解题思路和方法，许多看似复杂的问题都能迎刃而解。本文将结合实例，为同学们梳理求阴影部分面积的常用策略与技巧，并提供一些典型练习题，希望能帮助大家攻克这一难关。一、核心解题方法概述求阴影部分面积，关键在于将不规则的、陌生的阴影图形，转化为我们熟悉的基本图形（如长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆、扇形等）的面积之和或差。以下是两种最基本也最常用的思路：（一）“整体减空白”法这是最常用的方法之一。如果阴影部分是一个完整图形（我们称之为“整体”）中被扣除了某些空白部分后剩余的部分，那么阴影部分的面积就等于这个“整体”图形的面积减去所有空白部分的面积之和。这种方法的关键在于准确判断“整体”是哪个图形，以及哪些是需要扣除的“空白”部分。例如，一个正方形内有一个最大的圆，求圆以外部分（阴影）的面积，就可以用正方形的面积减去圆的面积。（二）“分割求和”法当阴影部分可以清晰地分割成两个或多个我们学过的基本图形时，我们可以先分别求出这些基本图形的面积，然后将它们相加，即可得到阴影部分的总面积。这种方法要求我们具备一定的观察能力，能将复杂图形“化整为零”。例如，一个阴影部分由一个三角形和一个小半圆组成，那么就分别计算三角形和半圆的面积，再相加。除了这两种基本方法，有时还会用到“平移”、“旋转”、“对称”等技巧，将分散的阴影部分组合成一个规则图形，或者将空白部分进行重组，从而简化计算。二、典型例题精析掌握了基本方法，我们通过几道典型例题来具体运用一下：例题1：题目描述：一个边长为6厘米的正方形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点。连接CE、CF，求图中阴影部分（即△CEF）的面积。思路分析：这个题目中的阴影部分是△CEF。直接求它的底和高似乎不太方便。我们可以考虑用“整体减空白”的方法。整体是什么呢？是整个正方形ABCD。空白部分有哪些呢？是△CBE、△CDF和△AEF。所以，阴影△CEF的面积=正方形ABCD的面积-△CBE的面积-△CDF的面积-△AEF的面积。解答过程：正方形ABCD的面积=边长×边长=6×6=36（平方厘米）。E、F是中点，所以AE=EB=AF=FD=6÷2=3（厘米）。△CBE的面积=底×高÷2=EB×BC÷2=3×6÷2=9（平方厘米）。同理，△CDF的面积也是9平方厘米。△AEF的面积=AE×AF÷2=3×3÷2=4.5（平方厘米）。因此，阴影△CEF的面积=36-9-9-4.5=13.5（平方厘米）。例题2：题目描述：在一个半径为5厘米的圆形纸片中，剪去一个半径为3厘米的同心圆，求剩余部分（即圆环，阴影部分）的面积。思路分析：这道题非常直接，阴影部分是一个圆环。圆环的面积计算方法就是“整体减空白”，即用外圆的面积减去内圆（空白部分）的面积。解答过程：外圆面积=πR²=π×5²=25π（平方厘米）。内圆面积=πr²=π×3²=9π（平方厘米）。阴影部分（圆环）面积=外圆面积-内圆面积=25π-9π=16π。如果取π的近似值3.14，则结果为16×3.14=50.24（平方厘米）。（具体看题目要求是否取近似值）例题3：题目描述：一个长方形的长是10厘米，宽是6厘米。在长方形内画一个最大的半圆，求半圆以外部分的阴影面积。思路分析：首先要明确，在一个长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的直径应该等于长方形的长（10厘米），因为如果以宽为直径，半径就是3厘米，直径6厘米，此时半圆会更小。所以半圆的半径是10÷2=5厘米，需要确认长方形的宽是否足够，6厘米大于5厘米，所以是可以的。阴影部分面积=长方形面积-半圆面积。解答过程：长方形面积=长×宽=10×6=60（平方厘米）。半圆面积=1/2×πr²=1/2×π×5²=12.5π（平方厘米）。阴影面积=60-12.5π。若取π=3.14，则阴影面积=60-12.5×3.14=60-39.25=20.75（平方厘米）。例题4：题目描述：求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（假设有一个图形：一个边长为4厘米的正方形，以正方形的一个顶点为圆心，以边长为半径在正方形内画一个1/4圆，另一个1/4圆以相对的顶点为圆心同样画出，两个1/4圆相交部分为阴影）思路分析：这个阴影部分是两个1/4圆（扇形）的重叠区域。直接计算比较困难。我们可以考虑将阴影部分进行分割，或者利用“容斥原理”。两个扇形的面积之和，其实比正方形的面积多出了一个阴影部分的面积（因为阴影部分被加了两次）。所以，阴影部分面积=两个扇形面积之和-正方形面积。解答过程：每个扇形的半径都是正方形的边长4厘米，且都是1/4圆。一个扇形的面积=1/4×πr²=1/4×π×4²=4π（平方厘米）。两个扇形面积之和=4π×2=8π（平方厘米）。正方形面积=4×4=16（平方厘米）。所以，阴影部分面积=8π-16。若取π=3.14，则阴影面积=8×3.14-16=25.12-16=9.12（平方厘米）。三、练习题巩固现在，请同学们运用学到的方法，尝试解决以下练习题：练习题1：一个直径为10厘米的圆，在它的内部有一个等腰直角三角形，其直角顶点在圆心，两直角边都与圆相交。求这个三角形以外的阴影部分面积。练习题2：一个梯形，上底5厘米，下底9厘米，高4厘米。在梯形内画一个最大的平行四边形，求剩余阴影部分的面积。练习题3：如下图，两个完全一样的直角三角形叠放在一起，其中一个直角三角形的直角边分别为6厘米和8厘米。求图中阴影部分（即重叠部分以上的小梯形）的面积。（提示：考虑空白部分的关系，或利用面积相等的思想）练习题4：一个边长为8厘米的正方形，分别以四条边为直径，在正方形内部画四个半圆。求这四个半圆所围成的阴影部分的面积。（这个图形也常被称为“四叶形”）四、温馨提示在解决求阴影部分面积的问题时，同学们还需要注意以下几点：1.仔细审题，观察图形：务必看清题目给出的条件，准确识别图形的组成部分。2.牢记公式，准确计算：熟练掌握各种基本图形的面积公式是前提，计算过程要细心，注意单位统一。3.多种思路，灵活运用：不要局限于一种方法，尝试从不同角度思考，选择最简单便捷的方法。4.辅助线的妙用：有时候，一条恰当的辅助线能让难题