人教版九年级上册数学第25章《一元二次方程》教学课件（新教材）

教

学

课

件人教版九年级上册数学（新教材）25.1一元二次方程的概念人教版九年级数学（上）第25章

一元二次方程新课导入1．你能举例说明一元一次方程的概念吗？如2026＋18x＝2025，这样只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程．2．下列是一元一次方程的是：________．(填序号)①x－1＝2x＋1；

②x－3；③4x＋3y＝1；

④x2－x(x＋1)＝0.①④探究新知问题1

如图25.1-1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm。在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图25.1-2）。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？如何用一元二次方程解决实际问题？提供一些一元二次方程的典型例题一元二次方程的解法有哪些？(1)本问题中的等量关系是什么？应该设哪个量为未知数？(2)若设各角切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为__________cm，宽为__________cm；(3)请根据题意列出方程，你能化简该方程吗？提出问题：(100－2x)(50－2x)设各角切去的正方形铁皮的边长为xcm，则盒底的长为（100-2x）cm，宽为（50-2x）cm，根据方盒的底面积为3600cm’，可列得方程(100-2x)(50-2x)=3600.整理并化简，得

由方程②可以得出各角所切正方形铁皮的边长.方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？问题2要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？(1)说说“每两个队之间比赛1场”的含义，甲队对乙队和乙队对甲队的比赛是同一场比赛吗？提出问题：(2)问题中比赛总场次是多少？等量关系是什么？(3)请设出未知数，列出方程式，并将所列方程化简．

整理并化简，得

由方程③可以得出应邀请的球队数.

方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？小明用30cm的铁丝围成一斜边长等于13cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长．本题必须设两个未知数吗？如果只设一个未知数，那么方程应该怎样列？思考：

这几个方程有什么共同点？知识归纳1．一般地，如果方程中只含有______个未知数，且含有未知数的式子都是______，未知数的最高次数是______，这样的方程叫作一元二次方程．一整式22．一元二次方程的一般形式是____________________，其中______是二次项，______是二次项系数；______是一次项，______是一次项系数；______是常数项．二次项系数a为什么不能为0?一元二次方程中的a，b，c可以是些什么样的数？ax2＋bx＋c＝0ax2abxbc(a≠0)3．方程－x2＋3x＝0中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______.4．使一元二次方程的________________的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根．－130左右两边相等一元二次方程的特殊形式二次项系数一次项系数常数项ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0)ab0ax2+c=0(a≠0，c≠0)a0cax2=0(a≠0)a00一元二次方程的特殊形式:例1例题与练习判断下列各方程是不是一元二次方程．(1)x2－3xy＋4y2＝0；(2)y2＝3y＋2；

例2

将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式

二次项系数为3一次项系数为－8一般形式为常数项为－10例3

已知a是方程2x2＋x－2＝0的根，求代数式4a2＋2a的值.解：由题意，得2a2＋a－2＝0，∴2a2＋a＝2，∴4a2＋2a＝4.1，把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)5x2－1=4x；解：方程一般形式为：5x2－4x－1=0.其中二次项系数为5，一次项系数为－4，常数项为－1.(2)4x2=81;(3)4x(x+2)=25;解：方程一般形式为：4x2－81=0.其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为－81.解：方程一般形式为：4x2+8x－25=0.其中二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为－25.(4)(3x－2)(x+1)=5x－2.解：方程一般形式为：3x2－4x=0.其中二次项系数为3，一次项系数为－4，常数项为0.2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；解：设正方形的边长为x.可列一元二次方程式：4x2=25.化为一般形式为：4x2－25=0.（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；解：设矩形宽为x，则长为：x+2.可列一元二次方程式：x(x+2)=100.化为一般形式为：x2－2x－100=0.（3）把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.解：设较短一段长为xm，

化为一般形式为：x2－3x+1=0.则较长一段长为(1−x)

m.3．(教材P4习题T3变式)下列数：6，－6，8，－8，12，－12，2，－2，是方程x2－2x－48＝0的根有

(

)A．1个B．2个C．3个D．4个B4．若关于x的方程(m－1)xm2+1－3x＋2＝0是一元二次方程，则此一元二次方程为________________．－2x2－3x＋2＝0课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你会解一元二次方程吗？随堂检测1.一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（

）A.3，5 B.3，0C.3，-5 D.5，0C2.关于x的方程(a-1)x2+4x-3=0是一元二次方程，

则（

）A.

a＞1 B.

a=1C.a≠1 D.

a≥0C作业布置(1)教材P4习题25.1第1，2，3题；(2)对应课时练习．习题25.1人教版九年级数学（上）第25章

一元二次方程复习巩固1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)4x2

+5x=81解：方程一般形式为：4x2+5x－81=0.其中二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为－81.

其中二次项系数为1，

常数项为0.(3)(2x－3)(x－1)=0.解：方程一般形式为：2x2－5x+3

=0.其中二次项系数为2，

常数项为3.(4)(3x－2)(x+1)=x(2x+1).解：方程一般形式为：x2－2=0.其中二次项系数为1，

常数项为－2.2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）一个圆的面积是2π，求半径r；解：设这个圆的半径为r.由圆的面积公式，得πr2=2π,所以r2=2，即r2－2=0.（2）一个直角三角形的两条直角边相差3，面积为9，求较长的直角边的长x.解：设这个直角三角形较长的直角边为x，则另一条直角边为(x－3).

整理，得x2－3x－18=0.（3）一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍，斜边长为5，求较短直角边的长.解：设直角三角形的较短直角边长为x，则较长直角边长为2x.

整理，得5x2－25=0.3.下列哪些数是方程x2+x－12=0的根?－

4，－

3，－

2，－

1，

0，1，2，3，4.把每个数代入方程x2+x－12=0，左边计算结果等于0就是根.综合运用4.南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.根据此问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.解：设矩形的宽为x步，则长为(x+12)步

.

整理，得x2+12x－864=0.拓广探索

（l）常数c是多少？

把x=2代入方程，得，c=4（2）此方程是否有其他根？如果有，求出这个根.有其他根解：由(1)得：c=4，

解得：x1​=2，x2​=－2所以此方程另一个根是－2.作业布置完成对应课时练习．25.2降次——解一元二次方程25.2.1配方法第1课时用直接开平方法解一元二次方程人教版九年级数学（上）第25章

一元二次方程新课导入求下列各数的平方根：

探究新知先来看一个简单的一元二次方程

根据平方根的意义，得

即x1=2，x2=－2.

（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；

探究：

提出问题：(1)(________)2＝5，据此思考如何解方程(x＋3)2＝5呢？(2)可考虑令y＝x＋3，则方程变为y2＝5，先解出y的值，再求x的值；(3)由方程(x＋3)2＝5可得到哪两个一元一次方程？(4)上述所解方程有什么共同点？

由方程

(x＋3)2＝5,

①

于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为

由此想到：在上面的解法中，由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了。例1

解下列方程：

解：移项，并将二次项系数化为1，

由此可得x+2

=±3，即x1=1，x2=－5.

知识归纳1．一般地，对于方程x2＝p，(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个______的实数根____________________；(2)当p＝0时，方程有两个_______的实数根______________；(3)当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程______实数根．不相等

相等x1＝x2＝0无一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是如何转化为一次的？请谈谈如何降次．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”化为两个__________方程．一元一次例1例题与练习解下列方程：(1)x2－36＝0；

(2)2y2＝100；

(3)16p2－5＝0.解：(1)x1＝6，x2＝－6.

例2解下列方程：(1)2(2x－1)2－10＝0；解：由2(2x－1)2－10＝0，得(2x－1)2＝5.

(2)y2－4y＋4＝8；解：原方程可化为(y－2)2＝8.

(3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.解：原方程可化为4(3x－1)2＝9(3x＋1)2.由此可得2(3x－1)＝±3(3x＋1)，2(3x－1)＝3(3x＋1)，或2(3x－1)＝－3(3x＋1)，

例3

已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的值和另一个根．解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2.∴原方程为(x－3)2＝9，解得x1＝6，x2＝0.∴另一个根为x＝0.1.解下列方程：（1）x2－9=0；

（2）2x2-8=0；解：2x2=8解：x2=9x1=3，

x2=－3x2=4x1=2，

x2=－2（4）(x+6)2-9=0；（3）9x2－5=3；

解：(x+6)2=9x+6=±3x1=－3，

x2=－9（6）x2-4x+4=5.（5）3(x－1)2－6=0；解：3(x－1)2=6(x－1)2=2

解：

(x-2)2=5

2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为

(

)A．2

B．－2

C．±2

D．不能确定C3．若实数a，b满足(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2的值为

(

)A．8

B．8或－2

C．－2

D．284．若代数式2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x＝________．A

课堂小结

2．用直接开平方法解一元二次方程的基本思想是降次．随堂检测1、一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（

）A.x-6=-4 B.x-6=4C.x+6=4 D.x+6=-4D3.方程3x2+9=0的根为（

）A.3 B.－3C.±3 D.无实数根2.若8x2-16=0，则x的值是

.D

作业布置(1)教材P17习题25.2第1题；(2)对应课时练习．25.2降次——解一元二次方程25.2.1配方法第2课时用配方法解一元二次方程人教版九年级数学（上）第25章

一元二次方程新课导入1．填空：(1)x2＋6x＋______＝(x＋______)2；(2)x2－5x＋(______)2＝(x－______)2；(3)x2＋x＋(______)2＝(x＋______)2.93

2．若x2－mx＋64是一个完全平方式，则m的值是________．±16探究新知解方程(x+3)2=5时，因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？探究：怎样解方程x2＋6x＋4＝0？把方程(x＋3)2＝5化成一般形式，然后与所探究中的方程进行比较，你有什么发现？如何将方程x2＋6x＋4＝0化成(x＋3)2＝5的形式呢？要把方程x2＋6x＋4＝0转化为像(x＋3)2＝5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式.对方程x2＋6x＋4＝0移项，得x2＋6x＝−4

.

左边写成完全平方形式，得(x+3)2＝5.

像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方法的基本思路：把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.把常数项移到方程右边之后，为什么要在x2＋6x＝－4的两边都加上9？加其他数行吗？x2＋6x＋9＝−4＋9配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.通过x2＋6x＋4＝0的解题过程，你能说说配方的一般步骤是什么吗？配方的关键是什么吗？解方程3x2－2x－1＝0.如果一个一元二次方程的二次项系数不为1，还能用配方法来解吗？请将方程3x2－2x－1＝0的二次项系数化为1，并尝试解此方程.解方程3x2－2x－1＝0.解：移项，得：3x2

−2x=1.

用配方法解一元二次方程的一般步骤：①移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边；②二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数；③配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；④降次，利用平方根的意义降次；⑤解两个一元一次方程，移项、合并同类项.

知识归纳1．通过配成____________形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法．完全平方2．对于任意一元二次方程，用配方法解的一般步骤：(1)先化成____________；(2)将常数项移到等式右边；(3)两边除以____________；(4)方程两边都加上______________________；(5)将等式左边化成________________；(6)两边开方，并求出方程的解．一般形式二次项系数一次项系数一半的平方完全平方形式(1)配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？提出问题：(2)配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？(3)配方过程中还需注意哪些问题？例1例题与练习(1)x2-8x+1=0；

(2)2x2+1=3x；

(3)3x2-6x+4=0.分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法.解下列方程：(2)先把方程化成

2x2-3x+1=0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.(3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方.解：移项，得：x2−8x=−1.(1)x2-8x+1=0；配方，得：x2−8x+42=−1+42，(x−4)2=15

(2)2x2+1=3x

解：移项，得：2x2−3x=−1.

(3)3x2-6x+4=0

解：移项，得：3x2−6x=−4.

所以原方程无实数根.例2

求证：无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.

∵(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋1＞0，∴无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.

＝2(x－1)2＋1.二次三项式的配方与一元二次方程的配方有什么区别，请指出具体区别在什么地方？二次三项式配方时，不能除以二次项的系数，只能提取二次项的系数，并添上括号，再用配方法构造一个完全平方式；而一元二次方程配方时，两边除以二次项系数后，再用配方法构造一个完全平方式．

255366

解：移项，得x2+10x=－9配方，得x2+10x+52

=－9+52

(x+5)2

=16

由此可得x+5=±4

x1=－1，

x2=－92.解下列方程：（1）x2+10x+9=0；

解：移项，得3x2+6x=4

（3）3x2+6x－4=0；

解：移项，得4x2－6x=3

（4）4x2－6x－3

=0；解：移项，得

x2+4x－2x=－11+9x2+2x=－2配方，得x2+2x+12

=－2+12

原方程无实数根.

(x

+1)2

=－1

（5）x2+4x－9=2x－11；解：移项，得x2

+4x=8x+4x2－4x=4配方，得x2－4x+22=4+22

(x－2)2

=8

（6）x(x+4)

=8x+4.3．代数式x2－8x＋18的值

(

)A．恒为正

B．恒为负C．可能为0

D．不能确定A4．把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝______，k＝______．5．式子－x2－4x－5，可配方为－(x＋______)2______，该式有最______值，是______．

2－1大－16．试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程．证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0，∴无论a为何实数，该方程都是一元二次方程．课堂小结1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性，在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．随堂检测1、用配方法解方程x2−4x−1=0，配方后正确的是（）(x−2)2=5 B.(x−2)2=1C.(x+2)2=5

D.(x−4)2=17A2、方程x2+6x=5配方后为（）A.(x+3)2=14B.(x+3)2=9C.(x−3)2=14D.(x+6)2=41A3、将x2−8x+m=0配方得(x−4)2=11，则m

的值为（）5 B.-5C.16 D.-11B作业布置(1)教材P17习题25.2第2，3题；(2)对应课时练习．25.2降次——解一元二次方程25.2.2公式法人教版九年级数学（上）第25章

一元二次方程新课导入用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；

(2)2x2－3x－5＝0.解：(1)x1＝－1，x2＝－2；

任何一个一元二次方程都可以写成ax2＋bx＋c＝0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？探究新知探究：任何一个一元二次方程都可以化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)能否用配方法得出它的解呢？提出问题：运用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？结合“步骤”解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，移项得_______________，二次项系数化为1，得_____________，两边同时加一次项系数一半的平方，得______________________．左边写成完全平方式，右边整理得_________________；ax2＋bx＝－c

移项，得ax2+bx=－c

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

两边能直接开平方求解吗？为什么？你觉得应该怎么办？因为a≠0，所以4a2＞0.

方程有两个不等的实数根

式子b2-4ac的值有以下三种情况：

Δ的符号方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况Δ＞0有两个不等的实数根Δ＝0有两个相等的实数根Δ＜0无实数根

解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.知识归纳1．式子_________叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式．Δ＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)______________________；Δ＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____________________；Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)______________．b2－4ac有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根

Δ≥0求根公式一元二次方程根的情况是由什么决定的？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？需要注意什么问题？①将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);易错点：计算Δ的值时，注意a,b,c符号的问题.用公式法解一元二次方程的一般步骤：②确定a，b，c的值；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则利用求根公式求解；若b2-4ac＜0,则方程无实数根.例1例题与练习解：因为a=1，b=−4，c=−7(1)x2−4x−7=0；用公式法解下列方程：所以Δ=b2－4ac=(−4)2−4×1×(−7)=44>0

方程有两个相等的实数根(3)5x2−3x=x+1；

方程有两个不相等的实数根

解：方程化为x2-8x+17=0，方程无实数根(4)x2+17=8x.

回到本章引言中列出的一元二次方程x2+5x−25=0用公式法解这个方程，得

关于这两个根，只有x1≈3.09符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为3.09m.例2不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)x2－2x＋1＝0；解：(1)∵Δ＝b2－4ac∴方程有两个相等的实数根；＝(－2)2－4×1×1＝0，(2)∵Δ＝b2－4ac＝42－4×3×5＝－44＜0，(2)3x2＋4x＋5＝0；(3)－x2＋7x＋6＝0.∴方程无实数根；(3)∵Δ＝b2－4ac＝72－4×(－1)×6＝73＞0，∴方程有两个不相等的实数根．例3

关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；解：(1)依题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5＞0，

(2)答案不唯一，如：m＝1.(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．此时方程为x2＋3x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.例3

关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．（1）x2+x－6=0；1.解下列方程：解：因为a=1，b=1，c=−6所以Δ=b2－4ac=12−4×1×(−6)=25>0

方程有两个不相等的实数根

方程有两个不相等的实数根（3）3x2－6x+4=0；

所以方程无实数根.

（4）2x2－3x

=0；

方程有两个不相等的实数根（5）x2

+4x+8=4x+11；

方程有两个不相等的实数根

（6）x(2x－4)

=5－8x.

方程有两个不相等的实数根

2．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则

(

)A．k＝－4

B．k＝4

C．k≥－4

D．k≥4B3．关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是

(

)A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根D4．若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__________．m＞－4课堂小结1．求根公式的概念及其推导过程．2．公式法的概念．3．运用公式法解一元二次方程的步骤：(1)将所给的方程化成一般形式，注意移项要变号，尽量让a＞0；(2)找出系数a，b，c，注意各项系数及符号；(3)计算b2－4ac的值，若结果为负数,方程无解；若结果为非负数，代入求根公式算出结果．随堂检测1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（

）

A.b2-4ac=0B.b2-4ac＞0C.b2-4ac＜0D.b2-4ac≥0B2、已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2−2x−3=0.下列说法正确的是（）A.①②都有实数解B.①无实数解，②有实数解C.①有实数解，②无实数解D.①②都无实数解B3、如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？x2－75x+350=0Δ=b2－4ac=(−75)2−4×1×350=5625−1400=4225＞0因为铁皮宽50cm，x<25所以x=70不符合实际，舍去.答：各角应切去边长为5cm的正方形.解：设各角应切去xcm的正方形.

作业布置(1)教材P17习题25.2第4，5题；(2)对应课时练习．25.2降次——解一元二次方程25.2.3因式分解法人教版九年级数学（上）第25章

一元二次方程新课导入1．若ab＝0，则________________；若(x－a)(x－b)＝0，则方程的根为______________．2．分解因式：(1)2x2－2x＝___________；(2)9x2＋12x＋4＝___________．a＝0或b＝0x1＝a，x2＝b2x(x－1)(3x＋2)23．将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法呢？(1)提公因式法：am＋bm＋cm＝____________；(2)公式法：a2－b2＝______________，

a2±2ab＋b2＝__________．m(a＋b＋c)(a＋b)(a－b)(a±b)2探究新知（1）提取公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)（2）公式法：a2−b2=(a+b)(a−b)（3）十字相乘法：x2+(p+q)x2+pq=(x+p)(x+q)因式分解的方法有哪些？a2±2ab

+b2=(a±b)2（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）公式法：x2=a(a≥0)或(mx+n)2=a(a≥0)(x+h)2=k(k≥0)我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？

问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）约为：10x−5x2根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？物体落回地面是什么含义？你能列出方程吗？10x−5x2=010x−5x2=0如何解这个方程呢？可以用配方法或公式法解方程.配方法：10x−5x2=0解：移项，得：−5x2+10x=0.二次项系数化为1，得：x2−2x=0

.配方，得：x2

−2x+1

=1

公式法：10x−5x2=0解：方程化为−5x2+10x=0，

方程有两个不相等的实数根

10x−5x2=0你还有更简便的方法解这个方程吗？设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x−5x2=0.将方程的左边分解因式，得x(10−5x)

=0.这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.如果ab=0，那么a=0，或b=0.所以x

=0，或10−5x

=0因此，方程10x−5x2=0的两个根是

解方程10x−5x2=0

时，二次方程是如何降为一次的？思考：解方程10x−5x2=0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.解方程：①3x2＋x＝0；②4x2＝－8x.方程3x2＋x＝0中有常数项吗？方程左边可用何种方法分解因式？如何解该方程？②中方程整理后与①中方程特征相同吗？请解此方程．如何用因式分解法解一元二次方程？①3x2＋x＝0；

②4x2＝－8x.解：x(3x+1)=0x=0，或(3x+1)=0

解：4x2+8x=04x=0，或(x+2)=0

4x(x+2)=0用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）移项，把方程变形为x2+px+q=0的形式；（2）把方程因式分解为(x-x1)(x-x2)=0的形式；（3）把方程转化为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；（4）解两个一元一次方程，求出方程的根.学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？思考：配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程.解法适用的方程类型直接开平方法x2=p或(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)配方法二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程公式法所有的一元二次方程因式分解法一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程一元二次方程的解法及适用类型：知识归纳1．对于一元二次方程，先因式分解使方程化为两个一次式的______等于0的形式，再使这两个一次式分别等于____，从而实现______，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法．乘积0降次2．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程右边化为_______；②将方程左边分解成两个一次因式的_______；③令每个因式分别为_______，得两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．0乘积03．用因式分解法解一元二次方程需注意哪些细节问题？配方法要先______，再______，进而降次；公式法直接利用__________解方程；因式分解法要先将方程一边化为___________________，另一边为_______，再分别使各一次因式等于_______．配方开方求根公式两个一次因式相乘00配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为_________，即_____，再分别解两个一次方程．一次方程降次例1例题与练习解下列方程：（1）x(x-2)+x-2=0；解：因式分解，得(x−2)(x+1)=0.于是

x−2=0或

x+1

=0,即x1=2，x2=−1.解：移项、合并同类项，得4x2-1=0.

因式分解，得(2x−1)(2x+1)=0.于是

2x−1=0或2x+1

=0,

例2用因式分解法解下列方程．(1)7x(3－x)＝2(x－3)；解：移项，得−7x(x－3)−2(x－3)=0.因式分解，得(x−3)(−7x−2)=0.于是

x−3

=0或−7x−2

=0,

(2)16(x－7)2－9(x＋2)2＝0.解：变形为平方差形式：[4(x－7)]2－[3(x+2)]2=0.于是4(x－7)+3(x+2)

=0或4(x－7)－3(x+2)

=0,

由平方差公式：a2－b2=(a+b)(a-b)得[4(x－7)+3(x+2)]

[4(x－7)－3(x+2)]=0.例3用适当的方法解下列一元二次方程．(1)2(x＋3)2＝8;解：(1)原方程系数化为1，可得由此可得x＋3＝±2，(x＋3)2＝4x1＝－1，x2＝－5.

方程有两个不相等的实数根，

(3)(3x－4)2＝9x－12;(3)移项，得(3x－4)2－(9x－12)＝0.因式分解，得(3x－4)(3x－4－3)＝0.于是得3x－4＝0，或3x－7＝0，

(4)x2－2x－99＝0.(4)因式分解，得(x－11)(x＋9)＝0.于是得x－11＝0，或x＋9＝0.x1＝11，x2＝－9.解一元二次方程时，应当仔细观察方程的形式和系数特点,选取合适的方法解一元二次方程,有利于减少计算量，从而提高计算的正确性．在用公式法求解时，需先计算b2－4ac的值，若它小于0，则此方程无实数根．一般先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，其次再考虑用公式法或配方法．

解：x(x+1)=0

x1=0，

x2=－1.

x=0或x+1=0

（3）3x2−

6x=−

3；

（4）4x2

−81

=0；解：3x2−6x+3=0(x−1)2=0

x2−2x+1=0

x1=x2=

1.解：(2x)2

−92

=0(2x+9)(2x−9)=02x+9=0或2x−9=0

（5）3x(2x+1)=4x+2；

（6）(x-

4)2=(5−2x)2.解：6x2−x−2=0解：(x−4)2−(5−2x)2=0(2x+1)(3x−2)=0

2x+1=0或3x−2=0(x−4+5−2x)[x−4−(5−2x)]=0(1−x)(3x−9)=0x1=1，

x2=

3.1−x=0或3x−9=02.如图，把小圆形场地的半径增加5m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9：4.求小圆形场地的半径.解：设小圆半径为xm，则大圆半径为(x+5)

m.

2(x+5)=3x，

2x+10=3x，x=10.

C4．直角三角形的两条直角边长分别为方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则直角三角形的斜边长为______．55．已知：(x2＋y2)(x2＋y2－1)＝6，求x2＋y2的值．解：设

t=x2＋y2.因为平方和非负，所以t≥0.原方程变为：t(t−1)=6，t2

-t

-6=0.因式分解：(t−3)(t+2)=0.解得：t1​=3，t2​=−2.因为t=x2＋y2≥0，舍去t=−2.所以x2＋y2＝3.课堂小结这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”.在今天的学习中,要逐步领会、掌握“转化”这一数学思想方法.随堂检测

D

A作业布置(1)教材P17习题25.2第6题；(2)对应课时练习．25.2降次——解一元二次方程25.2.4一元二次方程的根与系数的关系人教版九年级数学（上）第25章

一元二次方程新课导入(1)一元二次方程的一般形式：___________________________________；(2)一元二次方程的求根公式：___________________________________；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

(3)一元二次方程的系数与根有着密切的关系，今天让我们进一步研究一元二次方程的根与系数a，b，c之间的关系．探究新知1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？一元二次方程x1x2x1＋x2x1x2x2＋6x－16＝0x2－2x－5＝02x2－3x＋1＝05x2＋4x－1＝0−82−6−16

2−51

−1思考：

由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？提出问题：(1)公式完全由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数__________构成，无需额外运算即可表示方程的根；a，b，c(2)“±”符号决定了方程在有实数根时，通常有两个根x1＝______________，x2＝______________；(3)通过对两个根进行代数运算，你能得到根与系数有怎样的关系吗？

整体上看，两个根分别是“m+n”和“m−n”的形式，而且式子“n”中含有根号，这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁.

上述关系还可以用如下方法得出.

因此

知识归纳

即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于___________________________________，两个根的积等于__________________________．一次项系数与二次项系数的比的相反数

常数项与二次项系数的比方程的根是由什么决定的？在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ＝b2－4ac≥0呢？为什么？例1例题与练习

根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)x2-6x-15=0；

(2)3x2+7x-9=0；

(3)5x−1=4x2

.

解：4x2−5x+1=0

例2

当a≠b时，a，b可看作方程x2－2x－1＝0的两根，则a＋b＝2，ab＝－1，

(1)x2−3x=15；

(2)3x2+2=1−4x；解：x1+x2=3解：化简得

3x2+4x+1=01.不解方程，求下列方程两个根的和与积：

x1x2=−15

(3)5x2−1=4x2−x；

(4)2x2−x+2=3x+1.解：化简得

x2+x−1=0x1+x2=−1

解：化简得

2x2−4x+1=0x1+x2=2

2．已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两根为m，n，则m2＋n2＝_______．3.设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝______，x1x2＝______，(x1－2)(x2－2)＝______．

73－74．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数m的取值范围；解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(2m－1)2－4m2＝4m2－4m＋1－4m2＝－4m＋1≥0，

(2)假使存在实数m使得x12－x22＝0，(2)是否存在m使得x12－x22＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．∴x1＋x2＝0或x1＝x2.当x1＋x2＝0时，－(2m－1)＝0，

当x1＝x2时，Δ＝0，

课堂小结一元二次方程根与系数的关系：

随堂检测

C

C

4、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，则：（1）x12x2+x1x22

=

；（2）(x1−

x2)2

=

.310

解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x).5、已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.根据题意，得x(8-x)=9.75，整理，得x2-8x+9.75=0.解得x1=6.5,x2=1.5.当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5.∴这两个数是6.5和1.5.作业布置(1)教材P17习题25.2第7题；(2)对应课时练习．习题25.2人教版九年级数学（上）第25章

一元二次方程复习巩固1、解下列方程：（1）36x2−1=0；

（2）4x2=49;

（3）(x+5)2=25；

（4）x2+2x+1=4.

9311

（1）x2+10x+16=0；

解：移项，得x2+10x=−16配方，得

x2+10x+52

=−16+52

(x+5)2

=9

由此可得x+5=±3

x1=

−2，

x2=−83、用配方法解下列方程：

（3）3x2+6x－5=0；

解：移项，得3x2+6x=5

解：移项，得4x2－x=9

（4）4x2－x－9

=0.4、利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况：

方程有两个不等的实数根解：Δ=b2−4ac解：Δ=b2−4ac方程有两个相等的实数根

=21>0=(−24)2−4×16×9=0

方程无实数根解：Δ=b2−4ac解：化简，移项得

方程有两个不等的实数根

=−4＜0x2−8x+10=0

Δ=b2−4ac=(−8)2−4×1×10=24>05、用公式法解下列方程：(1)x2+x−12=0;解：a=1，b=1，c=−12Δ=b2－4ac=12−4×1×(−12)=49>0

(3)x(x−4)=2−8x;解：方程化为

x2+4x−2=0a=1，b=4，c=−2Δ=b2－4ac=42−4×1×(−2)=24>0

原方程无实数根

6、用因式分解法解下列方程：

（1）3x2−12x=−12；

解：移项、化简，得x2−4x+4=0.因式分解，得(x−2)2=0.x−2=0,

（2）4x2

−144=0；解：4(x2

−36)=0因式分解，得4(x

+6)(x

−6)=0.于是

x+6=0或x

−6

=0,

（3）3x(x−1)=2(x−1)；

解：移项，得3x(x−1)−2(x−1)=0.因式分解，得(x−1)(3x−2)=0.于是

x−1=0或3x−2

=0,

（4）(2x−1)2=(3−x)2.解：移项，得(2x−1)2－(3−x)2=0.化简，得(x+2)(3x−4)

=0,

由平方差公式：a2－b2=(a+b)(a-b)得[(2x−1)+(3−x)]

[(2x−1)－(3−x)]=0.于是x+2

=0或3x−4

=0,7、求下列方程两个根x1，x2的和与积：（1）x2－3x+2=10；

（2）5x2+x−5=0；解：x1+x2=3

x1x2=−8x1x2=−1（3）x2+x=5x+6；

（4）7x2−5=x+8.解：化简得解：化简得

x1+x2=4x1x2=−6x2−4x−6=07x2−x−13=0

综合运用8、一个直角三角形的两条直角边的长相差5，面积是7，求斜边的长.解：设较短的一条直角边为x，则较长直角边为(x+5).

解得x1=2，x2=−7（不合题意，舍去）∴当x=2时，x+5=7.

9、用适当方法解下列方程：（1）3x2=54；（2）x2−4x=8；解：x2=18

解：x2−4x+4

=8+4(x−2)2

=12

(3)3x2−1=2x;解：3x2−2x

−1=0.(3x+1)(x−1)=0.

3x+1

=0或x−1

=0,

(4)x2−6x+9=(5−2x)2.解：(x−3)2=(5−2x)2.(−x+2)(3x−8)

=0,

(x−3)2

−

(5−2x)2=0

[(x−3)+(5−2x)]

[(x−3)－(5−2x)]=0.

−x+2

=0或3x−8

=0,10、无论p取何值，方程(x−3)(x−2)−p2=0总有两个不相等的实数根吗？如果有，求出这两个根；如果没有，说明理由.解：方程可化为x2−5x+6−p2=0，∴Δ=b2−4ac=(−5)2-4×1×(6−p2)=4p2+1.∵p2≥0，∴4p2+1＞0，即Δ>0，∴无论p取何值，方程(x−3)(x−2)-p2=0总有两个不等的实数根.拓广探索

12.（1）因为x3−8x2+