2026年高中数学必修一学案

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与表示学习目标1.知识与技能：理解集合的含义，掌握集合中元素的三个特性；能够准确使用自然语言、列举法和描述法表示不同的集合；熟记并能正确运用常用数集的专用符号。2.过程与方法：通过实例感知集合的概念，经历从具体到抽象的思维过程；在集合表示方法的选择与转换中，体会数学符号语言的简洁性与准确性。3.情感态度与价值观：感受集合语言在描述客观世界中具有某种共同属性的对象时的作用，初步体会数学的抽象性和严谨性，培养良好的逻辑思维习惯。1.1.1集合的概念在我们的日常生活和数学学习中，常常需要将一些具有共同特征的对象放在一起进行研究。例如，我们班的全体同学，教室里的所有课桌，大于等于2且小于等于10的所有整数等等。1.集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。2.集合中元素的特性集合中的元素具有以下三个基本特性：*确定性：给定一个集合，那么任何一个元素是否在这个集合中就被确定了。也就是说，对于一个集合A和一个元素x，要么x属于A，要么x不属于A，二者必居其一。例如，“我们班高个子的同学”这个对象的总体就不能构成一个集合，因为“高个子”这个标准不明确，无法确定某个同学是否属于这个“总体”。*互异性：一个集合中的元素是互不相同的。也就是说，集合中的元素不会重复出现。例如，由数字1，2，2，3组成的集合，实际上就只有三个元素：1，2，3。*无序性：集合中的元素没有先后顺序之分。也就是说，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。例如，集合{1，2，3}与集合{3，2，1}是同一个集合。3.元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）集合A，记作a∉A。4.常用数集及其记法在数学中，我们经常会用到一些特定的数的集合，为了方便起见，我们用一些固定的大写英文字母来表示它们：*全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；*全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N₊；*全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；*全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；*全体实数组成的集合称为实数集，记作R。这些符号是数学中的通用语言，大家需要熟记并正确运用。1.1.2集合的表示方法我们可以用自然语言描述一个集合，但在数学中，更常用的是列举法和描述法来表示集合。1.列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。例如，由元素1，2，3，4，5组成的集合，可以表示为{1，2，3，4，5}；方程x²-4=0的所有实数根组成的集合，可以表示为{-2，2}。使用列举法时需要注意：*元素之间用逗号分隔；*一般情况下，列举的元素不考虑顺序；*集合中的元素是互异的，因此列举时不能重复；*对于元素较多或无限多个元素的集合，如果构成集合的元素有明显的规律，也可以用列举法表示，但必须把元素间的规律呈现清楚后用省略号表示。例如，自然数集N可以表示为{0，1，2，3，…}。思考：你能用列举法表示不等式x-3>0的解集吗？为什么？2.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体做法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般形式为：{x|P(x)}，其中x是集合中元素的代表形式，P(x)是集合中元素x所满足的共同特征。例如：*不等式x-3>0的解集可以表示为{x∈R|x>3}，这里“x∈R”是明确x的取值范围（实数集），“x>3”是x满足的特征。如果从上下文看，x的取值范围是明确的，那么x的取值范围可以省略不写，例如这个集合也可以简记为{x|x>3}。*所有偶数组成的集合可以表示为{x∈Z|x=2k，k∈Z}。*平面直角坐标系中，第一象限内的所有点组成的集合可以表示为{(x，y)|x>0，且y>0}。选择适当的方法表示集合：列举法和描述法各有优缺点。列举法直观明了，适用于元素个数较少的集合；描述法则更具一般性，适用于元素个数较多或无限多个元素的集合，尤其是当元素具有明显共同特征时。在具体问题中，我们应根据集合的特点选择合适的表示方法。典型例题分析例1.判断下列各组对象能否构成一个集合：（1）著名的数学家；（2）我校2026级所有高个子男生；（3）不超过20的非负整数；（4）方程x²-9=0在实数范围内的解；（5）直角坐标平面内第一象限的一些点。分析：判断一组对象能否构成集合，关键在于看这组对象是否具有确定性。解：（1）“著名的数学家”没有明确的标准，不具有确定性，故不能构成集合。（2）“高个子男生”中的“高个子”标准不明确，不具有确定性，故不能构成集合。（3）“不超过20的非负整数”是明确的，即0，1，2，…，20，故能构成集合。（4）方程x²-9=0在实数范围内的解为x=3和x=-3，是确定的，故能构成集合。（5）“一些点”不具有确定性，到底哪些点属于“一些点”不明确，故不能构成集合。解题反思：抓住集合元素的“确定性”是判断的根本。例2.用符号“∈”或“∉”填空：（1）0___N；（2）-3___Z；（3）√2___Q；（4）π___R；（5）1___N₊；（6）0.5___Z。分析：熟记常用数集的符号表示及各数集的含义是解决本题的关键。解：（1）0∈N；（2）-3∈Z；（3）√2∉Q；（4）π∈R；（5）1∈N₊；（6）0.5∉Z。例3.用列举法表示下列集合：（1）由大于-4且小于12的所有偶数组成的集合；（2）方程x²-5x+6=0的所有实数根组成的集合。分析：（1）先找出大于-4且小于12的所有偶数，然后用列举法表示；（2）先解方程，求出根，再用列举法表示。解：（1）大于-4且小于12的偶数有：-2，0，2，4，6，8，10。所以所求集合为{-2，0，2，4，6，8，10}。（2）解方程x²-5x+6=0，得x=2或x=3。所以所求集合为{2，3}。例4.用描述法表示下列集合：（1）所有奇数组成的集合；（2）二次函数y=x²+1的图像上所有点组成的集合；（3）不等式3x-2≤5的解集。分析：找出集合中元素的共同特征，并准确地用数学语言描述出来。解：（1）奇数都可以表示为2k+1的形式，其中k是整数。所以所有奇数组成的集合可以表示为{x|x=2k+1，k∈Z}。（2）二次函数y=x²+1的图像上的点可以用坐标(x，y)表示，其中y=x²+1。所以所求集合为{(x，y)|y=x²+1，x∈R}。（3）解不等式3x-2≤5，得x≤7/3。所以所求集合为{x|x≤7/3}。巩固练习一、选择题1.下列说法正确的是（）A.某个村子里的年轻人组成一个集合B.所有小正数组成的集合C.集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一个集合D.1，0.5，1/2，3/6，√1/4这些数组成的集合有五个元素2.若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形二、填空题3.用符号“∈”或“∉”填空：（1）√3___Q；（2）-1___N；（3）3.14___R。4.用列举法表示集合{x|x是15的正约数}为_____________。5.用描述法表示集合{2，4，6，8，10}为_____________。三、解答题6.已知集合A={x|ax²-3x+2=0}，其中a为常数，且a∈R。若集合A中只有一个元素，求a的值。学习小结与反思*本节课我们学习了哪些主要内容？（集合的含义、元素的特性、元素与集合的关系、常用数集