第十讲六年级奥数-燕尾模型

同学们，我们已经学习了不少平面几何中关于三角形面积计算的技巧，比如利用等高模型、等底模型来寻找不同三角形面积之间的关系。今天我们要深入探讨一个在解决三角形内多条线段相交形成的面积比例问题时非常实用的模型——燕尾模型。这个模型因其图形结构类似燕子的尾巴而得名，掌握它，能让我们在面对复杂的面积分割问题时，思路更加清晰，解法更加巧妙。一、燕尾模型的基本构造与核心结论我们先来认识一下燕尾模型的基本图形。在一个任意三角形ABC中，点D是BC边上的任意一点（不与B、C重合），连接AD。然后，点E是AD上的任意一点（不与A、D重合），连接BE并延长交AC于点F，连接CE并延长交AB于点G。这时，图形中就会形成若干个小三角形，而我们关注的“燕尾”，通常指的是像△AGB与△AGC、△BGA与△BGC、△CGA与△CGB这样的几对三角形，它们的形状和位置关系就像燕子分叉的尾巴。不过，燕尾模型最核心的，是关于这些由交叉线分割出来的三角形面积之间的比例关系。我们重点研究其中一个典型的“燕尾”结构。如图所示（请同学们在脑海中构建或画出示意图）：在△ABC中，AD、BE、CF相交于同一点O。我们要探讨的是：以A为顶点，被BE、CF分割形成的两个三角形——△ABO和△ACO的面积之比，与哪两条线段的长度之比有关？为了探究这个关系，我们可以过点B和点C分别向AD作垂线，垂足分别为M和N。这样，BM和CN分别是△ABO和△ACO的高（以AO为底时）。那么，S_△ABO=1/2×AO×BMS_△ACO=1/2×AO×CN所以，S_△ABO:S_△ACO=BM:CN观察△BMD和△CND，因为BM和CN都垂直于AD，所以BM∥CN。根据相似三角形的判定定理（平行线分线段成比例），△BMD∽△CND。因此，BM:CN=BD:DC。通过等量代换，我们得到：S_△ABO:S_△ACO=BD:DC这就是燕尾模型中一个非常重要的结论。我们把它用文字叙述一下：在三角形ABC中，若AD与BE相交于点O，则△ABO与△ACO的面积之比等于BD与DC的长度之比。这个结论的特点是，以A为顶点的两个“燕尾”三角形的面积比，等于它们所对的底边BD与DC的比。同理，我们还可以得到另外两组类似的比例关系：*若BE与CF相交于点O，则S_△BAO:S_△BCO=AF:FC*若CF与AD相交于点O，则S_△CAO:S_△CBO=AG:GB(这里G是CF与AB的交点)这三组比例关系，就是燕尾模型的核心内容。同学们一定要理解其推导过程，并能在具体图形中准确识别和运用。二、燕尾模型的应用技巧与实例分析燕尾模型的应用，关键在于准确找到“燕尾”结构，并利用面积比等于对应底边比的关系，将已知条件与所求问题联系起来。通常，我们会设某一个小三角形的面积为一个未知数，然后根据比例关系表示出其他三角形的面积，最后通过已知的面积总和或其他条件列出方程求解。例1：如图，在△ABC中，BD=DC=3:2，AE=EB=1:1，AD与CE相交于点O。若△ABC的面积是40，求△AOC的面积。分析与解答：首先，我们根据题目条件，在△ABC中，AD是BC边上的中线吗？不，BD:DC=3:2，不是1:1。CE是AB边上的中线，因为AE:EB=1:1。AD与CE相交于点O，这就构成了燕尾模型的基本图形。我们要求的是△AOC的面积。我们可以利用以C为顶点的“燕尾”来考虑，即△AOC和△BOC。根据燕尾模型的结论，S_△AOC:S_△BOC=AE:EB。因为AE:EB=1:1，所以S_△AOC=S_△BOC。我们设S_△AOC=x，则S_△BOC=x。接下来，再看以A为顶点的“燕尾”，即△AOB和△AOC。它们的面积比应该等于BD:DC=3:2。所以S_△AOB:S_△AOC=3:2，即S_△AOB=(3/2)x。现在，我们来看△ABC被AD分成了△ABD和△ACD。BD:DC=3:2，所以S_△ABD:S_△ACD=3:2。而△ABC的面积是40，所以S_△ABD=40×(3/(3+2))=24，S_△ACD=40×(2/(3+2))=16。而△ABD的面积又等于S_△AOB+S_△BOD吗？不，我们刚才设的是S_△AOB、S_△BOC、S_△AOC。△ABD的面积其实是S_△AOB+S_△BOD，但我们现在还不知道S_△BOD。换个角度，△ADC的面积是S_△AOC+S_△DOC=x+S_△DOC=16。同样，△BEC的面积呢？因为E是AB中点，所以S_△BEC=1/2S_△ABC=20。而S_△BEC=S_△BOC+S_△DOC=x+S_△DOC=20。哎，我们刚才得到x+S_△DOC=16，这里又有x+S_△DOC=20，这显然矛盾了。说明我们刚才选择的“燕尾”切入点可能需要调整，或者设的未知数不够全面。我们换一种设法。设S_△AOE=y，因为AE=EB，所以S_△BOE=y（等底同高）。所以S_△AOB=S_△AOE+S_△BOE=2y。根据燕尾模型，在以A为顶点的“燕尾”中，S_△AOB:S_△AOC=BD:DC=3:2。所以2y:S_△AOC=3:2，因此S_△AOC=(4/3)y。现在看△AEC的面积，它是S_△AOE+S_△AOC=y+(4/3)y=(7/3)y。因为E是AB中点，所以S_△AEC=1/2S_△ABC=20。因此，(7/3)y=20，解得y=60/7。那么S_△AOC=(4/3)y=(4/3)×(60/7)=80/7≈11.43？不对，这怎么会是分数？而且与前面的思路冲突，说明我哪里出错了。哦，我明白了，问题出在“燕尾”的顶点选择上。当我们说S_△ABO:S_△ACO=BD:DC时，这个O点必须是BE与CF的交点吗？不，在这个例子里，O是AD与CE的交点。那么，对于AD与CE的交点O，我们应该考虑哪一对“燕尾”呢？应该是以C为顶点，被AD分割的两个三角形：△COD和△AOC；以及以A为顶点，被CE分割的两个三角形：△AOE和△COE。或者，更直接的，利用我们最初推导的结论，对于过O点的两条线AD和CE，我们可以分别对它们应用燕尾模型的思想。我们重新来，设S_△COD=2k，因为BD:DC=3:2，对于AD这条线，以B为顶点的两个三角形△ABD和△CBD的面积比是3:2，总面积40，所以S_△ABD=24，S_△CBD=16。而S_△CBD=S_△BOC+S_△COD=S_△BOC+2k=16，所以S_△BOC=16-2k。现在看CE这条线，AE:EB=1:1，所以对于CE这条线，以A为顶点的△AEC和以B为顶点的△BEC面积相等，都是20。△AEC=S_△AOE+S_△AOC=20，△BEC=S_△BOE+S_△BOC=S_△BOE+16-2k=20，所以S_△BOE=4+2k。又因为AE:EB=1:1，所以S_△AOE=S_△BOE=4+2k（等底同高，以OE为底）。因此，S_△AOC=20-S_△AOE=20-(4+2k)=16-2k。现在，回到AD这条线，以A为顶点的两个“燕尾”三角形是△ABO和△ACO。S_△ABO=S_△AOE+S_△BOE=(4+2k)+(4+2k)=8+4k。S_△ACO=16-2k。根据燕尾模型，S_△ABO:S_△ACO=BD:DC=3:2。所以，(8+4k):(16-2k)=3:2交叉相乘得：2(8+4k)=3(16-2k)16+8k=48-6k14k=32k=32/14=16/7则S_△AOC=16-2k=16-2*(16/7)=16-32/7=(112-32)/7=80/7。嗯，虽然是分数，但计算过程是严谨的，说明答案就是80/7。看来最初的困惑是因为设未知数的方式不同，但只要逻辑正确，最终结果是一致的。这也提醒我们，运用燕尾模型时，设未知数和选择对应的“燕尾”三角形非常关键。例2：（略复杂一些，巩固练习）在△ABC中，G是重心，AG:GD=2:1，BG:GE=2:1，CG:GF=2:1。如果△ABC的面积是72，求图中阴影部分（比如△BGD）的面积。（提示：重心将中线分成2:1的两段，结合燕尾模型可以轻松求解）（此处留给同学们自行思考，或在课堂上由老师引导解答）三、总结与思考燕尾模型是解决三角形内涉及多条线段相交，特别是从顶点出发的线段相交形成的面积比例问题的有力工具。其核心思想是利用等高三角形面积比等于底边长之比，通过巧妙的转化，将复杂的面积关系简化为已知的线段比例关系。运用燕尾模型时，我们要注意以下几点：1.准确识别模型：找到由两条从不同顶点出发的线段相交形成的“燕尾”结构。2.明确对应关系：确定哪两个三角形构成“燕尾”，它们的面积比等于哪两条底边的比。3.灵活设元：根据题目条件，合理设出一个或几个小三角形的面积为未知数，再利用比例关系表示其他三角形的面积。4.结合其他知识：燕尾模型