【沪教版必修第一册】高一数学5.4.1反函数的概念（教学课件）

5.4.1反函数的概念第5章函数的概念、性质与应用

沪教版(2020)必修第一册·高一章节导读学

习

目

标12理解反函数的定义，掌握求反函数的方法.了解反函数与原函数的关系.情景引入华氏度与摄氏度的转换02035100115326895212239情景引入华氏度与摄氏度的转换02035100115326895212239

这是为什么呢?原来这两个函数所选取的自变量和函数值恰好相反.看似完全不同的两个函数关系式和图像都正确反映了两种温度度量制之间的转换关系，前者将摄氏度转换为华氏度，而后者恰好相反.情景引入函数y=1.8x+32中，x是自变量，y是x的函数.从y=1.8x+32这个关系式中解出x,得到

函数的定义设D是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合D中的任意给定的x，都有唯一的实数y与之对应，就称这个对应关系f为集合D上的一个函数，记作y=f(x)，x∈D.称y是x的函数.对集合D中的任意给定的x，都有唯一的实数y与之对应情景引入函数y=1.8x+32中，x是自变量，y是x的函数.从y=1.8x+32这个关系式中解出x,得到

新知探究1.反函数定义

对于函数y=f(x)，x∈D,记其值域为f(D).如果对f(D)中的任意给定的一个值y,在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x),那么得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数(inversefunction),记作x=f-1(y),y∈f(D).由于习惯上，自变量常用x表示，而函数值常用y表示，因此把该函数改写为y=f-1(x),x∈f(D).问题1

在反函数的定义中，有哪些关键词或句？如何理解？新知探究

问题2

下列各函数是否存在反函数，并说明理由（1）函数y=x²的值域为[0,+∞).在区间[0,+∞)中，存在y=1，满足

y=x²的x的值为±1.因此，函数

y=x²不存在反函数.

新知探究2.函数存在反函数的充要条件问题3

一个函数存在反函数的充要条件是什么？函数的定义设D是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合D中的任意给定的x，都有唯一的实数y与之对应，就称这个对应关系f为集合D上的一个函数，记作y=f(x)，x∈D.称y是x的函数.定义

对于函数y=f(x)，x∈D,记其值域为f(D).如果对f(D)中的任意给定的一个值y,在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x),那么得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数(inversefunction),记作x=f-1(y),y∈f(D).由于习惯上，自变量常用x表示，而函数值常用y表示，因此把该函数改写为y=f-1(x),x∈f(D).新知探究2.函数存在反函数的充要条件问题3

一个函数存在反函数的充要条件是什么？性质

一个定义域为D的函数y=f(x)存在反函数，当且仅当对于其值域f(D)中的每一个值y0，在定义域D中仅存在一个x0，满足f(x0)=y0.新知探究例如，函数y=x²不存在反函数,函数y=x²，x∈[0,+∞)存在反函数.新知探究问题4

“若一个函数在其定义域上是严格增函数或严格减函数，则该函数一定存在反函数.”上述说法是否止确？为什么？正确．在定义域上的严格增函数或严格减函数均存在反函数.新知探究问题5

“若一个函数存在反函数,则该函数在其定义域上一定是严格增函数或严格减函数.”上述说法是否止确？为什么？不正确．

新知探究如果函数y=f(x)，x∈D有反函数y=f-1(x)，x∈f(D),那么函数y=f-1(x)，x∈f(D)的反函数就是y=f(x)，x∈D.也就是说，y=f(x)及y=f-1(x)是互为反函数的.3.互为反函数y=f(x)y=f-1(x)定义域Df(D)值域f(D)D思考：函数与其反函数是否可能是相同的函数？典例分析例1若函数f(x)=log₃x,并设y=f-1(x)是其反函数，求f-1(2),f-1(a).解

设f-1(2)=t,根据反函数的定义，可得f(t)=2,即log₃t=2,因此t=9,即f-1(2)=9.类似地，设f-1(a)=b,可得f(b)=log₃b=a,因此f-1(a)=3a.一般来说，当a>0,a≠1时，解关于x的方程y=logax,得x=a.因此，当a>0,a≠1时，y=ax与y=logax互为反函数.典例分析

典例分析

定义

对于函数y=f(x)，x∈D,记其值域为f(D).如果对f(D)中的任意给定的一个值y,在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x),那么得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数(inversefunction),记作x=f-1(y),y∈f(D).由于习惯上，自变量常用x表示，而函数值常用y表示，因此把该函数改写为y=f-1(x),x∈f(D).求一个函数y=f(x)，x∈D的反函数的步骤：①求出反函数的定义域（即原来函数的值域）；②解方程y=f(x)，求出x关于y的函数表达式；③交换x与y（写为y=f-1(x),x∈f(D)）.求函数的反函数题型一题型探究求函数的反函数题型一题型探究求函数的反函数题型一题型探究求函数的反函数题型一题型探究求函数的反函