计算机图形学 课件 第8章曲线与曲面

计算机图形学第八章曲线与曲面主要内容8.1曲线和曲面的表示形式8.2三次插值参数多项式曲线8.3Hermite曲线和曲面8.4几何连续性和参数连续性8.4Bezier曲线曲面8.5B样条曲线曲面8.1曲线和曲面的表示形式曲线和曲面是计算机图形学中研究的重要内容之一,广泛应用于产品设计、数据分析、艺术设计、景物模拟等领域。在产品设计方面，大量的产品零件及日用品的外形都是由曲线或曲面构成；在数据分析方面，用曲线、曲面直观地表示实验、测量和计算得到的数据；曲线、曲面也是计算机艺术绘画、广告制作、景物模拟等的有力工具。8.1曲线和曲面的表示形式1963年美国波音(Boeing)飞机公司的佛格森(Ferguson)将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，并用三次参数曲线构造组合曲线，用四个角点的位置矢量及其两个方向的切矢量定义三次曲面。1964年美国麻省理工学院(MIT)的孔斯(Coons)用封闭曲线的四条边界定义一块曲面。同年，舍恩伯格(Schoenberg)提出了参数样条曲线、曲面的形式。1971年法国雷诺(Renault)汽车公司的贝塞尔(Bezier)发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。同期，法国雪铁龙(Citroen)汽车公司的德卡斯特里奥(deCasteljau)也独立地研究出与Bezier类似的方法。1972年，德布尔(deBoor)给出了B样条的标准计算方法。1974年,美国通用汽车公司的戈登(Gordon)和里森费尔德(Riesenfeld)将B样条理论用于形状描述,提出了B样条曲线、曲面。1975年，美国锡拉丘兹(Syracuse)大学的佛斯普里尔(Versprill)在其博士论文中提出了有理B样条方法。1980年代后期，美国的皮格尔(pieg)和蒂勒(Tiller)将有理B样条发展成非均匀有理B样条(NURBS)方法,并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。8.1曲线和曲面的表示形式

8.1曲线和曲面的表示形式曲线和曲面有显式、隐式和参数表示。无论显式还是显式，都是：1）曲线曲面的表示与选择的坐标系相关；2）会出现斜率为无穷大的情况；3）对于非平面曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示；4）不便于计算和编程序。为了解决这些问题，可考虑用参数方程表示曲线曲面。8.1曲线和曲面的表示形式

8.1曲线和曲面的表示形式

8.1曲线和曲面的表示形式

8.1曲线和曲面的表示形式

8.2三次插值参数多项式曲线采用参数多项式表示曲线必须确定多项式的次数。一方面，如果曲线的次数比较高，则有多个可供设置的参数以形成所需要的形状，但是曲线上点的计算开销巨大。此外,随着曲线多项式阶的升高，曲线会包含更多的弯曲，因而不适合绘制光滑的曲线或曲面。另外一方面，如果次数太低，也许就没有足够的参数进行设置。但是，如果只是需要在一个较小的区间内设计一段曲线,那么低阶多项式就可以满足大多数要求，尽管自由度不多，但是也足够生成所需形状的曲线段。因此,大多数设计者最初都由三次参数多项式曲线入手。8.2三次插值参数多项式曲线

8.2三次插值参数多项式曲线

8.2三次多项式曲线

8.2三次多项式曲线

8.2三次多项式曲线

8.2三次多项式曲线

8.2三次多项式曲线

8.3Hermite曲线和曲面

8.3Hermite曲线和曲面

8.3Hermite曲线和曲面

8.3Hermite曲线和曲面

8.4几何连续性和参数连续性由于几何外形往往是比较复杂的，要用一个单一的数学函数式确切地描述整条曲线或者整张曲面很困难，采用多各个曲线段连成一条曲线或者采用多张曲面片拼成一张曲面就成为设计的最好选择，这时候就需要考虑曲线和曲面的几何与参数连续性问题。为了保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处要求各种连续性条件。如果曲线的每一部分都以参数形式进行描述，则可通过在曲线段公共部分匹配连接的参数导数建立参数连续性。8.4几何连续性和参数连续性

8.4几何连续性和参数连续性一阶参数连续性已经能满足数字化绘图及一些设计应用。而二阶参数连续性对摄影机移动的动画格和很多精密CAD需求有一定作用。例如以相同步长移动的摄影镜头在一阶参数连续的两个曲线段的连接点处会经历一个突变，移动过程中将产生不连续性，但在二阶导数连续的两个曲线段的连接点处会平稳运动。8.4几何连续性和参数连续性

8.5Bezier曲线曲面利用同样一组控制点，还可以推导出非常逼近Hermite曲线的Bezier曲线Bezier曲线是由法国雷诺汽车公司的Bezier在1971年提出的一种构造样条曲线和曲面的方法；这种方法能够较直观地表示给定的条件与曲线形状的关系，使用户可以方便地通过修改参数来改变曲线的形状及阶次，而且算法较为简单，易于被用户接受；Bezier曲线不需要计算导数的信息，因此非常适用于图形学和CAD。8.5Bezier曲线曲面Bezier曲线是通过一组多边形折线的顶点来定义的；如果折线的顶点固定不变，则由其定义的Bezier曲线是唯一的；在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次；曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了；多边形折线又称Bezier曲线的控制多边形，其顶点称为控制点。8.5Bezier曲线曲面

8.5Bezier曲线曲面

8.5Bezier曲线曲面

8.5Bezier曲线曲面

8.5Bezier曲线曲面

8.5Bezier曲线曲面

8.5Bezier曲线曲面

三次Bezier曲线生成实例8.5Bezier曲线曲面

8.5Bezier曲线曲面

8.5Bezier曲线曲面

8.5Bezier曲线曲面

8.5Bezier曲线曲面Bezier曲线性质(4)几何不变性几何不变性指Beizer曲线的形状不随坐标变换而变化的特性。Beizer曲线的形状只与各控制顶点的相对位置有关。因此，在对Bezier曲线进行几何变换时，不需要对曲线上的所有点都进行处理，只要先对各控制顶点进行几何变换，然后重新绘制曲线就可以了8.5Bezier曲线曲面

8.5Bezier曲线曲面

三次Bezier曲线生成实例8.5Bezier曲线曲面

8.6B样条曲线曲面三次Bezier曲线和曲面在实践中得到了广泛的应用，但他们也有些不足：Bezier曲线的阶次是由特征多边形的顶点个数决定的，n个控制点产生n-1次的Bezier曲线；由于Bernstein调和函数在[0，1]区间内均大于等于0，在[0，1]的区间内修改任何一个控制点的位置会对整个Bezier曲线的形状有影响；在连接点(或者曲面片边缘)只有C0连续行，在某些场合比如飞机设计领域可能在连接点得不到需要的平滑性。8.6B样条曲线曲面1972年，deBoor和Cox分别提出了B样条的计算方法。1974年，美国通用汽车公司的Gorden和Riesenfeld提出了B样条曲线和曲面。B样条曲线除保持了Bezier曲线的直观性和凸包性等优点之外，还可以局部修改，曲线形状更趋近于特征多边形。B样条曲线可以连续光滑拼接，曲线的阶次与顶点数无关。8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.5B样条曲线曲面

8.5B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面

8.6B样条曲线曲面非均匀有理B样条（NURBS）NURBS曲线保留了B样条曲线的所有特性，比如