高等数学 课件2.1数列的极限

第二章极限与连续

极限是研究变量变化规律的最基本方法，函数的连续性是连接变量的局部特性与整体性质的关键桥梁。目录07无穷小的比较初等函数的连续性与闭区间上连续函数的性质020608数列的极限0103无穷小与无穷大极限存在准则两个重要极限函数的连续性与间断点05极限运算法则函数的极限0401.数列极限的定义02.收敛数列的性质03.内容小结第一节数列的极限一、数列极限的定义第一节数列的极限1.引例（1）《庄子·天下篇》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”（2）

第一节数列的极限设圆的半径为:

正六边形的面积：正十二边形的面积：……正的面积：得到数列当无限增大时，无限接近于某个确定的常数（圆的面积）,即第一节数列的极限2.数列按正整数编了号的一串数:,称为数列,记为数列.

其中第

项称为数列的通项(一般项).数列也可以看成定义在自然数集上的函数即：第一节数列的极限例如：第一节数列的极限例如：第一节数列的极限例如：第一节数列的极限例如：第一节数列的极限例如：第一节数列的极限我们发现数列当无限增大时，数列无限趋向于一个特定的数值

这个数值称为数列的极限，这样的数列我们称为收敛数列.第一节数列的极限设为数列,如果存在常数

，当无限增大时（即）对应的能无限接近于

，那么就称常数

是数列的极限，或者数列收敛于.这是数列极限定义的语言描述，那么如何用用数学语言来刻画呢？定义13.数列极限的定义第一节数列的极限考察数列当无限增大时，数列无限接近于1.语言描述：在无限增大的过程中

，数列无限接近1.数学语言描述：数学中可以用距离来描述接近程度.当无限增大时，可以无限的小.极限是一个动态的过程.第一节数列的极限给定，只要时，有.给定，只要时，有.给定，只要时，有.任意给定，只要时，有.第一节数列的极限定义2设为数列,如果存在常数

，对任意给定的正数

，总存在一个正整数

，使得当

时，总有则称是数列的极限，或者称数列收敛于.记为或如果不存在这样的数

，就称数列

没有极限，或者说数列

是发散的第一节数列的极限注：（1）具有任意性.

用来衡量与接近程度.（2）

的相应性.的选取依赖于.例如：.选定，只要时，有.选定，只要时，有.选定，只要时，有.任意给定，只要时，有.取取取取第一节数列的极限(3)的存在性.(4)定义只给出了如何判断

是否为数列极限的方法,并没有给出数列极限的求法.

(5)“”语言当时，有第一节数列的极限4.数列极限的几何意义当时，有.数列从项起以后所有的项都落在点的邻域内，只有有限项（至多只有个）落在其外.第一节数列的极限例2-1已知，证明数列的极限是.证：，为了使只需，即取，则当时，有第一节数列的极限例2-2设，证明.证：当时，结论显然成立.若时，对，要使即.只需.取，则当时，有第一节数列的极限二、收敛数列的性质性质1（极限的唯一性）如果数列

收敛，那么它的极限唯一.性质2（收敛数列的有界性）如果数列

收敛，那么数列有界.证：设.根据数列极限的定义，取

，则则当时，有，即.取则有.第一节数列的极限注1：有界数列不一定收敛.例如：数列.注2：无界数列一定发散.例如：数列.性质3（收敛数列的保号性）如果

，且（或）那么存在正整数,当时，都有（或）.证:对，取，则，当时，即有.第一节数列的极限推论如果数列

从某项起有（或），且那么（或）定义3在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，得到的一个数列称为原数列的一个子数列，记为.例：，是数列的两个子数列.

第一节数列的极限性质4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列