4.1 微分中值定理

第四章微分中值定理与

导数的应用

导数反映的是函数在一点处的局部性质.我们将以中值定理作为导数应用的理论基础，以此来研究函数的整体性质和曲线的形态.目录函数图形的描绘0206微分中值定理0103泰勒公式函数的极值与最值及其应用05函数的单调性和凹凸性洛必达法则04数列极限的定义01.收敛数列的性质02.内容小结03.01020403第一节微分中值定理罗尔定理柯西中值定理拉格朗日中值定理内容小结第一节微分中值定理

某人驾车驶入高速公路，该路段限速标记为“60km/h～100km/h”已知他半小时行驶了56km,试问他是否超速？第一节微分中值定理一、罗尔（Rolle）定理

费马（Fermat）引理设函数

在点

的某邻域

内有定义

且在

处可导，如果对任意

，有（或)，那么.证不妨设时，（若可以类似证明）于是对于

，有从而当

时，有;第一节微分中值定理

当

时，有;根据函数在

可导的条件及极限的保号性，便得到所以我们把导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点，临界点）.第一节微分中值定理定理1罗尔（Rolle）定理

如果函数

满足：（1）在闭区间

上连续；（2）在开区间

内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，那么在

内至少有一点

，使得.几何解释即

，

第一节微分中值定理证

因为

在

上连续,

在上必有最大值,最小值.(1)若，则.,有.(2)若，因为，最值不可能同时在区间端点处取得.不妨设

，在开区间

内有一点，使得.因此，,有，由费马引理可知,

.

第一节微分中值定理

注：（1）罗尔定理的三个条件如果有一个条件不满足，结论就可能不成立.例：,在处不可导

，不满足（2）罗尔定理的条件是充分的，但不是必要的.即使三个条件都不满足，结论中的

仍可能存在.例：不满足罗尔定理的条件，但.第一节微分中值定理

例4-1验证罗尔定理对函数

在区间上的正确性并求定理中

的值.解

函数

在区间上连续，在内可导，且因此满足罗尔定理的条件.由，由，得.第一节微分中值定理

例4-2

不用求出函数

的导数，判断方程有几个实根，并指出这些根所在的区间.解

函数

，且.在上连续，在内可导,满足罗尔定理的条件.由罗尔定理得，至少存在一点，使得.至少存在一点，使得.又

为二次方程，至多有两个实根，故有两个实根，它们分别在

及内.第一节微分中值定理

例4-3

设函数

在上连续，在内可导，且满足.证明在区间

内至少存在一点

，使.证令.在上连续，在内可导，.由罗尔定理得，至少存在一点

，使得.而因此有.第一节微分中值定理二、拉格朗日中值定理

定理2拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数

满足：（1）在闭区间

上连续；（2）在开区间

内可导；那么在

内至少存在一点

，使得

几何解释

第一节微分中值定理

证

引进辅助函数在上连续，在内可导，且.由罗尔定理得，至少存在一点

，使得，即由此得.拉格朗日中值公式第一节微分中值定理

拉格朗日中值公式其他表达方式：或称为有限增量公式.它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这个区间内的某点处的导数之间的关系.

思考并回答引例中问题——“他是否超速？”第一节微分中值定理

推论1

如果函数

在区间上导数恒为零,那么

在区间上恒为常数.证在区间上任取两点（不妨设），

在上满足拉格朗日中值定理的条件，得因为

，所以.从而.由的任意性，知在区间上恒为常数.第一节微分中值定理

推论2如果函数

与在区间内满足条件

，则这两个函数至多相差一个常数，即.例4-4当

时，证明.证

设

，则在上满足拉格朗日中值定理的条件，有即：

又由

得，,

即证.第一节微分中值定理

三、柯西中值定理如果曲线

是由参数方程表示.那么曲线上点

处的切线的斜率为弦的斜率为.第一节微分中值定理

假定点

对应于参数，那么曲线上点处的切线平行于弦,可表示为定理3

(柯西中值定理)如果函数

及满足：（1）在闭区间

上连续；（2）在开区间

内可导，且在内的每一点处均不为零，那么在

内至少有一点

，使

成立.第一节微分中值定理

证

首先注意到.这是由于根据假定

，又，所以.引进辅助函数则满足罗尔定理的条件则在

内至少有一点

，使

成立.即.故.第一节微分中值定理

拓展题例4-5

设函数

在区间上可导.证明存在，使得证令.符合柯西中值定理的条件，故至少存在一点,使得,即.第一节微分中值定理

例4-6（第十二届全国决赛题，2020）设函数

在区间

上连续，在内可微，且.证明（1）存在

，使得（2）存在

，使得.证(1)令.在区间上连续，且,第一节微分中值定理

由介值定理，存在，使得即(2)令.在区间上连续，在内可导，

，且,由罗尔定理知，存在

，使得