《工程数学》课件-第五章：矩阵和线性变换

工程数学：3D游戏开发数学基础第5章：矩阵和线性变换第5章：矩阵和线性变换本章学习目标理解线性变换掌握线性变换的正式定义及其核心性质（不包含平移）。掌握基本变换学习通过矩阵实现旋转、缩放、正交投影、反射和错切等基本变换。推导变换矩阵理解并能够推导出二维和三维空间中各类变换的矩阵形式。组合变换学习如何通过矩阵乘法组合多个基本变换，从而形成更复杂的复合变换效果。分类变换深入了解线性、仿射、可逆、正交、刚体等不同变换类别的数学定义和核心属性。第5章：矩阵和线性变换核心概念：线性变换与仿射变换线性变换(LinearTransformation)•定义：保持矢量加法和标量乘法的变换。•特性：无平移，变换前后原点保持不变。•实现：三维空间中使用3x3矩阵表示。仿射变换(AffineTransformation)•定义：线性变换+平移操作，是线性变换的超集。•实现：三维空间中需使用4x4矩阵表示。💡核心提示：本章重点讨论线性变换，所有的变换操作都将严格围绕坐标系原点进行。第5章：矩阵和线性变换5.1旋转5.1.1二维旋转：绕原点旋转核心思想在二维平面中，线性变换的旋转操作始终围绕原点进行。这是推导二维旋转矩阵的几何前提。关键参数：旋转角θ统一规定逆时针方向为旋转的正方向；角度θ的数值决定了旋转的幅度大小。标准基矢量变换公式p'=[cosθ,sinθ]|q'=[-sinθ,cosθ]

（p=[1,0],q=[0,1]为原始标准基）图示：二维平面中基矢量p,q绕原点的旋转过程第5章：矩阵和线性变换二维旋转矩阵推导▍推导逻辑拆解01.确定变换后的基矢量将基矢量p、q绕原点旋转θ后得到新的坐标：p'=[cosθ,sinθ]|q'=[-sinθ,cosθ]02.构建标准旋转矩阵线性变换矩阵的核心定义：“矩阵的行=变换后的基矢量”▍核心公式结论R(θ)二维旋转矩阵记住这个构造逻辑：只要知道了变换后基矢量的坐标，直接填入矩阵的行，就得到了对应的变换矩阵。

第5章：矩阵和线性变换5.1.2三维旋转：绕主轴旋转核心思想在三维空间中，物体的旋转并非在平面上进行，而是围绕着一条轴线发生的。最基础、最直观的情况，就是分别绕笛卡尔坐标系的三个主轴（X轴、Y轴、Z轴）进行旋转。方向规则：左手定则判断旋转正方向的标准遵循左手规则：自然伸出左手，让大拇指指向该坐标轴的正方向，此时，其余四根手指自然弯曲的环绕方向，即为该轴的旋转正方向。第5章：矩阵和线性变换绕X轴旋转α角▍旋转几何分析•X轴基矢量p=[1,0,0]保持不变，为旋转轴。•Y轴与Z轴基矢量在YZ平面内进行二维平面旋转。•变换后基矢量：q'=[0,cosα,sinα]，r'=[0,-sinα,cosα]▍旋转矩阵Rx(α)图示：坐标系绕X轴旋转α角的空间变换

第5章：矩阵和线性变换绕Y轴旋转α角▍旋转特性分析•Y轴基矢量保持不变：q=[0,1,0]•X轴与Z轴在XZ平面内进行二维旋转变换•变换后基矢量：p'[cosα,0,-sinα]/r'[sinα,0,cosα]▍旋转矩阵Ry(α)图示：坐标系绕Y轴逆时针旋转α角

第5章：矩阵和线性变换绕Z轴旋转α角▍核心变换分析•Z轴基矢量r=[0,0,1]在变换中保持绝对不变。•X、Y轴基矢量被限制在XY平面内进行二维旋转。•变换后基矢量：p'=[cosα,sinα,0]，q'=[-sinα,cosα,0]▍标准旋转矩阵Rz(α)图示：三维坐标系下，物体绕Z轴旋转α角的几何关系

第5章：矩阵和线性变换5.1.3绕任意轴旋转：概念与推导思路💡核心问题如何表示绕任意过原点的轴n(单位向量)旋转θ角的变换矩阵？01向量分解(Decomposition)将任意向量v拆解为平行于n的分量v∥和垂直于n的分量v⊥，即v=v∥+v⊥。02分量独立变换(Transformation)平行分量v∥保持不变(v∥'=v∥)；只需专注计算垂直分量v⊥旋转后的结果v⊥'。03二维平面化(2DReduction)在垂直于n的平面内，利用v⊥与w=n×v⊥构建二维坐标系，将问题转化为熟悉的二维旋转。最终合成(Composition)将不变的v∥与旋转后的v⊥'相加得到最终向量v'。第5章：矩阵和线性变换绕任意轴旋转的矩阵公式核心参数定义01.旋转轴(Axis)定义为单位向量n=[nx,ny,nz]，决定了空间中的旋转方向。02.旋转角度(Angle)定义为θ(Theta)，代表刚体绕旋转轴转过的弧度大小。旋转矩阵R(n,θ)3x3正交旋转矩阵

第5章：矩阵和线性变换绕任意轴旋转的矩阵公式公式背景解读罗德里格斯旋转公式该矩阵形式是罗德里格斯公式的代数表达，用于计算三维空间中刚体绕任意轴旋转后的位置。核心价值：将抽象的旋转运动转化为具体的矩阵运算，是计算机图形学和机器人学的基础。Unity中如何实现任意轴旋转的3D物体控制第5章：矩阵和线性变换5.2缩放5.2.1沿主轴缩放：均匀与非均匀均匀缩放(UniformScale)在所有方向上应用相同的缩放因子k。变换后能严格保持物体的原始角度与几何比例。非均匀缩放(NonuniformScale)在不同方向上应用不同的缩放因子(kx,ky,kz)。变换会改变物体的角度关系与长宽比例。二维缩放矩阵三维缩放矩阵▎几何变换效果示意：比例的拉伸与挤压

第5章：矩阵和线性变换5.2.2任意方向的缩放：概念与推导核心问题如何沿任意给定的单位向量n方向，对目标向量v进行线性的缩放变换？推导逻辑拆解01.向量正交分解将v拆解为平行于n的v∥和垂直于n的v⊥02.分量独立变换垂直分量不变v⊥'=v⊥；平行分量缩放v∥'=k·v∥03.结果线性合成v'=v⊥+k·v∥=v+(k-1)·v∥(最终变换公式)几何示意：任意方向缩放的向量分解与重组第5章：矩阵和线性变换任意方向缩放的矩阵公式核心参数定义缩放方向n：单位向量[nx,ny,nz]缩放因子k：控制缩放程度的常数二维缩放矩阵S(n,k)三维缩放矩阵S(n,k)💡公式记忆核心规律主对角线元素：1+(k-1)×n分量的平方(如nx²)非对角线元素：(k-1)×n两个不同分量的乘积(如nxny)

第5章：矩阵和线性变换5.3正交投影

（OrthographicProjection）第5章：矩阵和线性变换5.3.1投影到主轴或主平面核心概念：正交投影正交投影本质是一种线性降维操作。在计算机图形学中，最简单的形式就是将完整的三维空间对象，直接“压扁”并映射到三个笛卡尔主平面（xy、yz、xz）之一。实现原理：缩放因子归零通过构造缩放矩阵来实现。将垂直于目标投影平面的维度对应的缩放因子设置为0，即可过滤掉该维度的所有信息，从而完成从3D到2D的投影映射。经典示例：投影到XY平面矩阵(P_xy)

投影到主轴上（二维）第5章：矩阵和线性变换5.3.2投影到任意线或平面的矩阵核心推导思路投影可视为一种“特殊的缩放”。在任意方向缩放公式中，令缩放因子k=0，即可将垂直于投影平面的分量完全“归零”，从而推导出投影矩阵。核心定义参数只需一个核心参数：投影平面的单位法向量n。

它定义了投影的方向（垂直于平面），是构建二维与三维投影矩阵的基础输入。二维投影矩阵P(n)[1-nx²-nxny]

[-nxny1-ny²]三维投影矩阵P(n)[1-nx²-nxny-nxnz]

[-nxny1-ny²-nynz]

[-nxnz-nynz1-nz²]第5章：矩阵和线性变换5.4反射（Reflection）第5章：矩阵和线性变换反射（镜像）变换核心概念将对象围绕一条线（二维）或一个平面（三维）进行对称翻转，是几何变换中最基础的变换之一。数学推导逻辑基于任意方向缩放公式，令缩放因子k=-1即可得反射矩阵。这等同于将垂直于反射平面的分量“反向”。核心参数定义n:反射平面的单位法向量(nx,ny,nz)二维Refl(n)[1-2nx²-2nxny]

[-2nxny1-2ny²]三维Refl(n)1-2nx²-2nxny-2nxnz

-2nxny1-2ny²-2nynz

-2nxnz-2nynz1-2nz²二维平面反射变换几何示意物体沿反射轴进行对称翻转，保持形状不变第5章：矩阵和线性变换5.5错切（Shearing）第5章：矩阵和线性变换错切(Shearing)核心概念一种不均匀地拉伸坐标空间的线性变换。它将一个坐标的固定倍数加到另一个坐标上，从而产生“倾斜”的视觉效果。关键特性变换过程中不保持角度，但能精确保持面积和体积不变，是计算机图形学中常用的变形手段。图示：单位正方形的二维错切效果Hx(s)：X坐标被Y错切[10]

[s1]Hy(s)：Y坐标被X错切[1s]

[01]KeyTakeaway：错切变换是线性代数中的基础变换，其核心在于“坐标耦合”，广泛应用于3D建模、图像变形等领域。第5章：矩阵和线性变换5.6组合变换（CompositeTransformation）第5章：矩阵和线性变换通过矩阵乘法组合变换核心原理变换的顺序应用可以通过矩阵乘法来表示，这是线性代数中组合变换的基础数学工具。运算等价性先变换A后变换B，等价于直接应用乘积矩阵AB。即：v'=(v×A)×B=v×(A×B)图形学应用在渲染管线中，将模型矩阵与视图矩阵预先相乘，得到单一变换矩阵，大幅减少顶点计算次数，提升渲染效率。几何意义乘积矩阵AB的行，本质上是将矩阵A的行（变换后的基矢量）再次通过矩阵B进行线性变换的结果。第5章：矩阵和线性变换5.7变换的分类第5章：矩阵和线性变换线性变换与仿射变换线性变换(Linear)📐核心定义需满足加法与数乘封闭性：F(a+b)=F(a)+F(b)且F(ka)=kF(a)。⚡关键性质完全可用矩阵乘法表示，不含平移操作，并严格将空间中的零向量映射到零向量。📦典型变换包含旋转、缩放、反射、错切以及正交投影等基础的几何变换类型。仿射变换(Affine)📐核心定义线性变换的扩展形式：v'=vM+b。即在矩阵变换的基础上增加了平移向量b。⚡关键性质是线性变换的超集。保留了线性变换的大部分特性，但不再受限于“零向量映射”规则。📦典型变换包含所有线性变换，以及平移、刚体变换、相似变换等带位置偏移的复杂变换。第5章：矩阵和线性变换可逆变换（Invertible）核心定义若存在一个对应的“逆变换”，能够完全抵消并“撤销”原变换带来的改变，则称该变换是可逆的。关键性质(矩阵视角)•变换矩阵必须是可逆矩阵（非奇异矩阵）。•矩阵的行列式值必须不等于0(det≠0)。常见的可逆变换旋转、非零缩放(k≠0)、反射、错切。这类变换保留了空间的维度信息。典型的不可逆变换正交投影。投影变换会将高维空间映射到低维子空间，造成维度信息丢失，因此无法“撤销”。第5章：矩阵和线性变换保持角度与正交变换保持角度的变换(Angle-Preserving)💡核心定义Definition变换前后，空间中任意两个向量之间的夹角保持不变。物体整体形状维持恒定，仅发生位置或大小的均匀变化。📦包含类型Includes•平移(Translation)

•旋转(Rotation)与均匀缩放(UniformScaling)正交变换(OrthogonalTransformation)🔑矩阵定义变换矩阵的行（或列）向量构成标准正交基，向量间相互垂直且模长为1。✨核心性质逆矩阵=转置矩阵(A⁻¹=Aᵀ)；严格保持向量的长度与夹角大小不变。📋典型变换平移(Translation)、旋转(Rotation)、镜面反射(Reflection)。📊行列式特征旋转操作→行列式det=+1

反射操作→行列式det=-1第5章：矩阵和线性变换刚体变换（RigidBody）核心定义保持对象