2026届高三理科数学一轮复习学案空间点直线平面之间的位置关系

引言立体几何是高中数学的重要组成部分，它不仅是培养空间想象能力和逻辑推理能力的关键载体，也是高考数学考查的重点内容。“空间点、直线、平面之间的位置关系”作为立体几何的入门和基础，其核心在于理解空间几何元素的基本性质、判定及相互联系。一轮复习的目标是夯实基础，构建知识网络，提升对空间图形的直观感知与抽象思维能力，为后续学习空间角、距离以及简单几何体的表面积与体积等内容奠定坚实基础。本学案将引领同学们系统梳理这部分知识，并通过典型例题与练习，深化理解，掌握方法。一、复习目标1.理解并掌握空间中点、直线、平面的基本概念及其表示方法。2.能准确描述空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，并能进行正确判断。3.熟练运用平面的基本性质（公理及其推论）解释和证明空间中的共点、共线、共面问题。4.掌握异面直线的判定方法，理解异面直线所成角的概念，并能初步进行计算。5.提升空间想象能力，能运用图形语言、符号语言、文字语言准确表达几何关系，并进行简单的逻辑推理。二、知识梳理与要点解析（一）空间几何体的直观认识我们生活在三维空间中，周围的物体大多是立体图形。构成这些立体图形的基本元素是点、直线和平面。从集合的角度看，直线可以看作是点的集合，平面也可以看作是点的集合。（二）平面的基本性质平面是一个不加定义的原始概念，我们可以通过桌面、黑板面、平静的水面等形象来感知它。平面具有无限延展性。1.平面的表示：*通常用希腊字母α,β,γ等表示，如平面α，平面β。*也可用表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面ABCD，平面AC。2.平面的基本性质（公理）：*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。（符号表示：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α）此公理是判断直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面（如“直线在平面内”的实际应用）。*公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（符号表示：若A,B,C三点不共线，则存在唯一的平面α，使得A,B,C∈α）此公理给出了确定一个平面的基本方法，也说明“不共线的三点”是确定平面的基本要素。*公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。（符号表示：若P∈α，且P∈β，则α∩β=l，且P∈l）此公理揭示了两个平面相交的本质——交于一条直线，是判断两个平面相交、确定交线位置的依据。3.公理2的三个推论（由公理2可直接推出，用于确定平面）：*推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。*推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。*推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理及其推论是立体几何逻辑推理的基础，是将空间问题转化为平面问题的桥梁。（三）空间中直线与直线的位置关系1.异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。其特点是：既不相交，也不平行。*判断方法：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。2.空间两条直线的位置关系：*共面直线：*相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点。*平行直线：在同一平面内，没有公共点。*异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。3.平行公理（公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性，在空间中依然成立）（符号表示：若a∥b，b∥c，则a∥c）4.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。（注意：方向相同则相等，方向相反则互补）5.异面直线所成的角：*定义：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。*范围：(0°,90°]。若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直。*作法：通常在其中一条直线上选择一特殊点（如端点、中点），过该点作另一条直线的平行线，构造出异面直线所成的角，然后通过解三角形求出该角。（四）空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有以下三种：1.直线在平面内：有无数个公共点。（符号表示：l⊂α）2.直线与平面相交：有且只有一个公共点。（符号表示：l∩α=A）3.直线与平面平行：没有公共点。（符号表示：l∥α）（我们把直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，符号表示：l⊄α）（五）空间中平面与平面的位置关系两个平面的位置关系有且只有以下两种：1.两个平面平行：没有公共点。（符号表示：α∥β）2.两个平面相交：有一条公共直线。（符号表示：α∩β=l）三、重要公理、定理的应用与方法指导1.证明点共线问题：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3可知这些点都在这两个平面的交线上。2.证明线共点问题：一般先证明两条直线相交于一点，再证明第三条直线经过该点（通常利用公理3证明该点在第三条直线所在的两个平面的交线上）。3.证明点、线共面问题：*方法一（纳入平面法）：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内。*方法二（辅助平面法）：先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α与平面β重合。4.判断空间直线的位置关系：*对于平行直线，主要依据公理4及线面平行、面面平行的性质定理（后续学习）。*对于异面直线，可依据定义或异面直线的判定方法。要注意否定性判断往往用反证法。5.求异面直线所成角的步骤：*一作：根据定义，用平移法作出异面直线所成的角（常用中位线平移、平行四边形平移等）。*二证：证明作出的角就是所求的异面直线所成的角（或其补角）。*三求：解三角形求出该角的大小。若求出的角是钝角，则异面直线所成的角应为其补角（因为异面直线所成角的范围是(0°,90°]）。四、典型例题分析例1（点、线、面位置关系的判断与辨析）下列命题中，正确的个数是（）①空间三点确定一个平面；②经过一条直线和一个点确定一个平面；③若两条直线平行，则它们确定一个平面；④若两条直线异面，则它们不在任何一个平面内。A.1B.2C.3D.4分析：①错误。根据公理2，只有不共线的三点才能确定一个平面。若三点共线，则过这三点的平面有无数个。②错误。根据推论1，经过一条直线和这条直线外一点，才能确定一个平面。若该点在直线上，则过这条直线的平面有无数个。③正确。根据推论3，两条平行直线确定一个平面。④正确。根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。答案：B例2（共点、共线、共面问题）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱AB、AA₁的中点。求证：(1)E、F、D₁、C四点共面；(2)CE、D₁F、DA三线共点。分析：(1)要证四点共面，可考虑证明EF与CD₁平行或相交，从而确定平面。(2)要证三线共点，可先证两条直线相交于一点，再证该点在第三条直线上。证明：(1)连接A₁B。∵E、F分别是AB、AA₁的中点，∴EF∥A₁B。又∵A₁B∥D₁C（正方体中面对角线平行），∴EF∥D₁C。∴由推论3（平行直线确定平面）可知，EF与D₁C确定一个平面α。∴E、F、D₁、C∈α，即E、F、D₁、C四点共面。(2)由(1)知EF∥D₁C，且EF=1/2A₁B=1/2D₁C，即EF<D₁C。∴直线D₁F与CE必相交，设交点为P。∵P∈D₁F，D₁F⊂平面AA₁D₁D，∴P∈平面AA₁D₁D。∵P∈CE，CE⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD。∵平面AA₁D₁D∩平面ABCD=AD，∴P∈AD。∴CE、D₁F、DA三线共点于P。例3（异面直线的判定与所成角）在空间四边形ABCD中，AB=CD，且AB与CD所成的角为60°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。分析：取AC中点G，连接EG、FG。利用三角形中位线定理，将AB与CD所成的角、EF与AB所成的角转化为△EFG中的内角。解：取AC的中点G，连接EG、FG。∵E、F分别为BC、AD的中点，∴EG∥AB，且EG=1/2AB；FG∥CD，且FG=1/2CD。∵AB=CD，∴EG=FG。∴∠GEF（或其补角）即为EF与AB所成的角，∠EGF（或其补角）即为AB与CD所成的角。∵AB与CD所成的角为60°，∴∠EGF=60°或120°。在△EFG中，∵EG=FG，∴当∠EGF=60°时，△EFG为等边三角形，∠GEF=60°；当∠EGF=120°时，∠GEF=(180°-120°)/2=30°。∴EF与AB所成的角为60°或30°。五、方法总结与易错点警示1.方法总结：*勤画图、善观察：空间几何离不开图形，要养成画图的习惯，从多角度观察图形，培养空间想象能力。*重定义、抓公理：深刻理解基本概念和公理的内涵，它们是推理的基础。*会转化、降维思：将空间问题转化为平面问题是解决立体几何问题的基本思想，如异面直线所成角的平移转化。*正难则反：对于一些直接证明较困难的命题（如异面直线的判定），可考虑用反证法。2.易错点警示：*混淆平面图形与空间图形的性质：平面几何中的一些结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线平行”在空间中就不成立。*对公理、定理的条件理解不透彻：如公理2中“不在一条直线上的三点”这个条件必不可少。*异面直线所成角的范围及平移方向：异面直线所成角的范围是(0°,90°]，平移时要注意方向，确保所成角为锐角或直角。*符号语言使用不规范：点与线、点与面的关系用“∈”或“∉”，线与面的关系用“⊂”或“⊄”、“∩”等，要准确使用。六、巩固练习A组基础达标1.给出下列命题：①若一条直线在平面外，则这条直线与平面平行；②若两条直线分别在两个平行平面内，则这两条直线平行；③若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行。其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.32.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与棱AA₁异面的棱有（）A.3条B.4条C.5条D.6条3.已知直线a,b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线4.如图，在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:FC=DH:HA=2:3。求证：EF、GH、BD交于一点。B组能力提升5.已知空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成的角。6.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁