第5章 机械振动与机械波

物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动

实例:心脏的跳动，钟摆，乐器，地震等1机械振动平衡位置一简谐振动

5.1简谐振动

简谐运动最简单、最基本的振动谐振子作简谐运动的物体简谐运动复杂振动合成分解2简谐振动

弹簧振子的振动弹簧振子演示视频振动的成因：回复力+惯性令3弹簧振子的运动分析得即简谐运动的特征：加速度与位移的大小x成正比，方向相反简谐运动的微分方程积分常数，根据初始条件确定解方程设初始条件为:解得简谐运动方程由得其中简谐运动方程图图图取简谐运动方程

1振幅图二简谐动的描述方法2周期、频率弹簧振子周期

周期注意图

频率圆频率周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关图频率为例如，心脏的跳动80次/分周期为大象0.4~0.5马0.7~0.8猪1~1.3兔1.7松鼠6.3鲸0.13动物的心跳频率(参考值,单位:Hz)

昆虫翅膀振动的频率（Hz）

雌性蚊子355~415雄性蚊子455~600苍蝇330

黄蜂220相位的意义:表征任意时刻（t）物体振动状态.物体经一周期的振动，相位改变.3相位相位初相位4常数和的确定初始条件

对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.已知

求讨论图取

旋转矢量自Ox轴的原点O作一矢量，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.5简谐振动的矢量图示法以

为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.讨论相位差：表示两个相位之差（1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间．（2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异（解决振动合成问题）.同步为其它超前落后反相

例一质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08m，周期为4s，起始时刻物体在x=0.04m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求（1）t=1.0s时，物体所处的位置和所受的力；代入解已知求（1）代入上式得可求（1）（2）由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间.法一设由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间为t法二起始时刻时刻时动力学分析：

1单摆OAm转动正向三简谐振动实例令OAm转动正向2复摆令*（C点为质心）CO转动正向角谐振动*（C点为质心）CO转动正向例一半径为r的均质球,可沿半径为R的固定大球壳的内表面作纯滚动(如图示).试求圆球绕平衡位置作微小运动的动力学方程及其周期.Rrco解：（2）（1）（3）（4）联立（1）、（2）、（3）、（4）式，得运动方程RrcoRrco令

3

简谐运动的方程和特征

（2）简谐运动的动力学方程（1）物体受线性回复力作用平衡位置（3）简谐运动的运动学方程（4）加速度与位移成正比而方向相反复摆弹簧振子单摆1动能(以弹簧振子为例)OxX四

简谐振动的能量2势能线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒.3机械能OxX简谐运动能量图4T2T43T能量简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动势能曲线例质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？（2）解（1）已知；(2)求:(1)（4）时由总能量E；（3）解(4)何处动势能相等?求:(3)已知

1两个同方向同频率简谐运动的合成设一质点同时参与两独立的同方向、同频率的简谐振动：两振动的位相差=常数五简谐振动的合成

两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率的简谐运动（1）相位差（2）相位差（3）一般情况加强减弱小结（1）相位差（2）相位差

2两个同方向不同频率简谐运动的合成频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.讨论,的情况合振动频率振幅部分振幅振动频率拍频（振幅变化的频率）

一

阻尼振动现象：振幅随时间减小原因：阻尼动力学分析：阻力系数阻尼力

5.2阻尼振动角频率振幅固有角频率阻尼系数阻尼振动位移时间曲线三种阻尼的比较

(c)临界阻尼(b)过阻尼

(a)欠阻尼驱动力5.3受迫振动驱动力的角频率共振共振频率大阻尼小阻尼共振频率阻尼共振现象及应用共振振幅63振动和波动的关系：机械波、电磁波、物质波振动——波动的成因波动——振动的传播波动的种类：5.4机械波的几个概念64一机械波的形成

能传播机械振动的媒质（空气、水、钢铁等）2介质作机械振动的物体（声带、乐器等）

1波源波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.注意65二横波与纵波1横波66特点：波传播方向上各点的振动方向与波传播方向垂直2纵波（又称疏密波）例如：弹簧波、声波67纵波特点：质点的振动方向与波传播方向一致横波与纵波的演示视频683复杂波（本章研究对象）特点：波源及介质中各点均作简谐振动特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成例如：地震波

简谐波69三波长波的周期和频率波速

波传播方向上相邻两振动状态完全相同的质点间的距离（一完整波的长度）.1波长OyAA-70横波：相邻波峰——波峰波谷——波谷纵波：相邻波疏——波疏波密——波密712周期T波传过一波长所需的时间，或一完整波通过波线上某点所需的时间.3频率单位时间内波向前传播的完整波的数目.（1内向前传播了几个波长）72决定于介质的性质（弹性模量和密度）波在介质中传播的速度4波速钢铁中水中例如，声波在空气中73四个物理量的联系注意周期或频率只决定于波源的振动波速只决定于介质的性质74例1在室温下，已知空气中的声速为340m·s-1，水中的声速为1450m·s-1，求频率为200Hz和2000Hz的声波在空气中和水中的波长各为多少？解由，频率为200Hz和2000空气中的波长Hz的声波在75在水中的波长76（1）若视空气为理想气体，试证声速与压强的关系为，与温度的关系为.式中为气体的摩尔热容之比，

为密度，为摩尔气体常数，为摩尔质量.例2假如声波在空气中的传播过程可看作绝热过程.（2）求℃和℃时，空气中的声速.（空气的，）77解（1）气体中纵波波速为式中体积模量被定义为压强增量与体积应变（）的比，即负号表示压强增大(减小)时体积缩小(增大)已知:绝热过程，证，求℃，℃时的声速78又由理想气体绝热方程常量取微分，得79℃时空气中声速℃时声速（2）80一波面波前

波射线振动相位相同的点组成的面称为波阵面1波阵面

波前任一时刻波源最初振动状态在各方向上传到的点的轨迹.波前是最前面的波阵面5.5平面简谐波性质（3）各向同性介质中，波线垂直于波阵面.

（2）波阵面的推进即为波的传播.（1）同一波阵面上各点振动状态相同.分类（1）平面波

（2）球面波81822波射线与波阵面垂直且表示波的传播方向的线称为波线或波射线。注意：在波传播的空间，并不存在真正的“面”和“线”。引入波阵面和波线是为了借助于一些如图所示的几何图形来描绘波动过程。833

惠更斯原理

介质中，波传到的各点不论在同一波前或不同波前上，都可看作是发射子波的波源。在任一时刻这些子波的包迹就是该时刻的波前。84二平面简谐波的表达式

设有一平面简谐波沿轴正方向传播，波速为，坐标原点

处质点的振动方程为OPx85

表示质点在时刻离开平衡位置的距离.OPx

考察波线上点(坐标),

点比点的振动落后,

点在时刻的位移是点在时刻的位移，由此得86

由于为波传播方向上任一点，因此上述方程能描述波传播方向上任一点的振动，具有一般意义，即为沿轴正方向传播的平面简谐波的波函数，又称波动方程.87可得波动方程的几种不同形式：利用和88波函数质点的振动速度，加速度89三波动表达式的物理含义（波具有时间的周期性）

则令1一定，

变化

表示点处质点的振动方程（的关系）90波线上各点的简谐运动图91令（定值）则

y

o

x2

一定变化

该方程表示时刻波传播方向上各质点的位移,即时刻的波形（的关系）92

方程表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的波形，体现了波的传播.O3、都变93OPx如图，设点振动方程为

点振动比点超前了4沿

轴方向传播的波动方程

94从形式上看：波动是波形的传播.从实质上看：波动是振动的传播.

对波动方程的各种形式，应着重从物理意义上去理解和把握.

故点的振动方程（波动方程）为：95

例1一平面简谐波沿轴正方向传播，已知振幅，，.在时坐标原点处的质点在平衡位置沿轴正向运动.求：(2)

波形图；(3)

处质点的振动规律并作图.(1)波动方程；解(1)

写出波动方程的标准式96O(m)97(2)求波形图波形方程02.01.0-1.0

时刻波形图(m)98(3)

处质点的振动规律并作图

处质点的振动方程(m)01.0-1.02.0O******处质点的振动曲线123412341.099

例2一平面简谐波以速度沿直线传播，波线上点A的简谐运动方程求:(1)以A

为坐标原点，写出波动方程；(2)以B为坐标原点，写出波动方程；(3)求传播方向上点C、D

的简谐运动方程；(4)分别求出BC

，CD

两点间的相位差.单位分别为m，s).,;(ABCD5m9m8m100(1)

以A

为坐标原点，写出波动方程(m)ABCD5m9m8m101(2)

以B

为坐标原点，写出波动方程(m)ABCD5m9m8m102(3)

写出传播方向上点C、D的运动方程点C

的相位比点A

超前(m)ABCD5m9m8m103点D

的相位落后于点A

(m)ABCD5m9m8m104(4)分别求出BC

，CD

两点间的相位差ABCD5m9m8m105一波动能量的传播波的传播是能量的传播，传播过程中，介质中的质点运动，具有动能，介质形变具有势能.pWkW1波的能量5.6波动能量

声强级106以棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.振动动能xOxO107弹性势能xOxO108xOxO109体积元的总机械能xOxO110讨论

体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.体积元的位移最大时，三者均为零.(1)在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随作周期性变化，且变化是同相位的.111(2)

任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量.任一体积元的机械能不守恒.波动是能量传递的一种方式.xOxO112能量密度：单位体积介质中的波动能量平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值xOxO113例1

在弹性介质中传播的平面简谐波，在t时刻某质元的动能是10J，问在(t+T)时刻(T为周期)该质元振动的总能量是多少？

解

由于简谐波质元的动能与是能同相位，且经过一个周期后