人教版九年级上册数学第21章一元二次方程利润问题应用题

探究与实践：运用一元二次方程解决利润问题在九年级上册数学的学习旅程中，一元二次方程无疑是一个核心内容。它不仅是代数知识的深化，更在解决实际问题中展现出强大的工具性。其中，与经济生活密切相关的“利润问题”应用题，因其综合性和实用性，常常成为考察的重点与难点。本文旨在引导同学们深入理解这类问题的本质，掌握其解题思路与技巧，从而能够从容应对。一、利润问题的基本概念与核心关系要解决利润问题，首先必须厘清几个基本的经济概念及其相互关系：1.成本（进价）：商家购进商品时所付出的费用。2.售价：商家卖出商品时所定的价格。3.利润：商家通过销售商品所获得的盈利。通常有“单件利润”和“总利润”之分。*单件利润=售价-成本（进价）*总利润=单件利润×销售量在实际问题中，商品的售价往往不是固定不变的。商家为了促销或获取更高利润，可能会调整售价。而售价的变动，通常会引起销售量的反向变动——即售价提高，销量可能减少；售价降低，销量可能增加。这种“一增一减”的关系，恰恰为一元二次方程的应用提供了土壤。二、利润问题中一元二次方程的构建当题目中出现“每涨价多少元，销量就减少多少件”或“每降价多少元，销量就增加多少件”这样的表述时，我们就可以考虑通过设未知数，将总利润表示为关于这个未知数的二次函数（或一元二次方程），进而求解最大利润、特定利润下的售价或销量等问题。关键步骤解析：1.仔细审题，明确已知量与未知量：找出题目中的成本、原售价、原销量，以及价格变动与销量变动的具体关系（例如：每涨价a元，销量减少b件；或每降价a元，销量增加b件）。明确题目要求解决的问题，是求最大利润，还是达到某一利润值时的售价/销量等。2.巧设未知数：通常设“涨价”或“降价”的金额为未知数x。例如，设每件商品涨价x元，或设每件商品降价x元。有时，也可以直接设调整后的售价为未知数，但设价格变动量往往更便于表示销量的变化。3.用含未知数的代数式表示相关量：*新售价：原售价±x(涨价用“+”，降价用“-”)*新单件利润：(原售价±x)-成本=(原单件利润)±x(涨价时利润增加x，降价时利润减少x)*新销售量：原销量∓(x/a)×b(涨价时销量减少，用“-”；降价时销量增加，用“+”。这里的a是“每涨价/降价a元”，b是“销量减少/增加b件”)。简化来说，若“每涨价m元，销量减少n件”，则涨价x元后，销量减少(x/m)*n件，即新销量=原销量-(n/m)x。实际问题中，m通常为1，例如“每涨价1元，销量减少2件”，则涨价x元，销量减少2x件，新销量=原销量-2x。4.根据“总利润=单件利润×销售量”列出方程或函数关系式：*如果题目是求“总利润为多少元时，售价/销量是多少”，则根据题意列出关于x的一元二次方程：(新单件利润)×(新销售量)=目标总利润。*如果题目是求“最大利润是多少”，则列出总利润W关于x的二次函数：W=(新单件利润)×(新销售量)，然后通过配方或利用顶点公式求出二次函数的最大值。5.解方程并检验：对于列出的一元二次方程，求解后要检验解的合理性。因为x表示的是价格变动，其取值必须使售价和销量都为非负数，且符合实际意义。例如，降价不能使售价低于成本（除非题目允许亏损销售，但利润问题通常不考虑），涨价也不能使销量降为负数。6.作答：根据求解结果，结合所设未知数，回答题目提出的问题。注意单位的统一和答案的完整性。三、典型例题精析例题：某商店经营一种小商品，进价为每件20元。据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件；而售价每上涨1元，销量就减少5件。（1）当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少？分析与解答：（1）思路：当售价为30元时，首先计算单件利润，再计算此时的销售量，最后相乘得到总利润。*单件利润=30-20=10元。*售价从25元涨到30元，上涨了5元。已知每上涨1元销量减少5件，所以销量减少了5×5=25件。*此时销售量=105-25=80件。*总利润=10×80=800元。*答：当售价定为每件30元时，一个月可获利800元。（2）思路：要求最大利润，需构建总利润关于售价变动量的二次函数，然后求其最大值。*设未知数：设每件商品涨价x元（x≥0，且确保销量不为负）。*表示相关量：*新售价=25+x元。*新单件利润=(25+x)-20=5+x元。*新销售量=105-5x件（因为每涨1元少卖5件，涨x元就少卖5x件）。*由于销量不能为负，所以105-5x≥0，解得x≤21。故x的取值范围是0≤x≤21。*构建总利润函数：设总利润为W元，则W=(5+x)(105-5x)*展开并整理：W=5×105+5×(-5x)+x×105+x×(-5x)W=525-25x+105x-5x²W=-5x²+80x+525*求最大值：这是一个二次函数，a=-5<0，抛物线开口向下，函数有最大值。对称轴为x=-b/(2a)=-80/(2×(-5))=-80/(-10)=8。因为x=8在x的取值范围[0,21]内，所以当x=8时，W取得最大值。将x=8代入W的表达式：W最大值=-5×(8)²+80×8+525=-5×64+640+525=-320+640+525=320+525=845元。此时的售价为25+x=25+8=33元。*答：当售价定为每件33元时，一个月的获利最大，最大利润是845元。四、温馨提示与常见误区1.审题是前提：务必仔细阅读题目，圈点关键信息，特别是价格变动与销量变动的关系，不要混淆“增加”与“减少”。2.单位要统一：确保所有涉及的量（成本、售价、利润）单位统一，例如都以“元/件”为单位。3.销量与利润的表示要准确：这是列方程或函数关系式的核心，要确保在涨价或降价时，销量和单件利润的代数式书写正确。4.关注自变量的取值范围：在解决实际问题时，列出方程或函数后，要根据实际意义确定未知数x的取值范围，确保售价和销量均为非负数。解出方程的根后，也要检验其是否在合理范围内。5.区分“最大利润”与“特定利润”：若求最大利润，一般需转化为二次函数求最值问题；若求“获得多少利润时的售价”，则列出一元二次方程求解。6.规范作答：解应用题要写出完整的答语，回答要与题目所问对应。五、实战演练（此处可根据需要插入1-2道练习题，例如：）练习1：某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件。后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元。若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？（3）求出y与x之间的函数关系式，并求出当x取何值时，商场经营该商品一天获得的利润最大？最大利润是多少？练习2：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元。市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。（3）当每箱