2026年中考复习数学《圆的证明与计算》专项检测

2026年中考复习数学《圆的证明与计算》专项检测同学们，在初中数学的知识海洋中，“圆”无疑是一颗璀璨的明珠，它既蕴含着对称和谐之美，又充满了逻辑推理的魅力。作为中考数学的重点与难点，圆的证明与计算常常以综合题的形式出现，考验着大家对几何知识的综合运用能力。这份专项检测，旨在帮助同学们巩固圆的核心概念、定理与性质，提升在复杂情境下进行逻辑推理和精确计算的技能，为即将到来的中考做好充分准备。请大家沉着冷静，仔细审题，规范作答，尽情展现你们的数学才华。检测范围圆的基本概念、圆的对称性、垂径定理及其推论、圆心角与圆周角的关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系（特别是切线的判定与性质）、圆与圆的位置关系（选学内容，视各地考纲而定）、正多边形与圆、圆的弧长和扇形面积的计算，以及圆与三角形、四边形等平面图形的综合应用。考试时间90分钟满分100分注意事项1.本试卷分选择题、填空题和解答题三部分。2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。3.所有答案请书写在答题卡指定区域内，超出区域的答案无效。4.注意合理分配时间，证明过程应书写规范，逻辑清晰，计算结果需准确无误。---一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法中，正确的是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.平分弦的直径垂直于弦C.圆是轴对称图形，有无数条对称轴D.三点确定一个圆2.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长为（）A.2B.3C.4D.5（*此处应有示意图，为一个圆，直径AB竖直，弦CD水平，AB与CD交于E点*）3.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则过点P的最短弦长为（）A.4B.6C.8D.104.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，则⊙O的半径与PA的长度之比为（）A.1:1B.1:√2C.1:√3D.√3:1（*此处应有示意图，圆心O，两条切线PA、PB，P为圆外一点，连接OA、OB、OP*）5.一个扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则这个扇形的面积为（）A.3πB.6πC.9πD.12π二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）6.如图，在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角的度数为______。（*此处应有示意图，一个圆O，弦AB，圆心角∠AOB=100°*）7.已知⊙O的半径为4cm，点A、B、C在⊙O上，若△ABC为等边三角形，则△ABC的边长为______cm。8.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，若AD=2，DB=8，则CD=______，AC=______。（*此处应有示意图，圆O，直径AB水平，C在圆上，CD垂直AB于D*）9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，若以点C为圆心，r为半径作⊙C，当r=______时，⊙C与AB相切。（*此处应有示意图，直角三角形ABC，∠C为直角，AB为斜边*）三、解答题（本大题共5小题，共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10.（本小题满分12分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，交⊙O于点E。（1）求证：BD=CD；（2）若BC=8，DE=2，求⊙O的半径。（*此处应有示意图，圆O，直径AB，弦BC，OD垂直BC于D，OD延长线交圆于E*）11.（本小题满分13分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D是BC延长线上一点，AD交⊙O于E。（1）求证：AE平分∠CAD；（2）若∠BAC=40°，求∠AEC的度数。（*此处应有示意图，圆O，内接等腰三角形ABC，AB=AC，底边BC延长至D，AD交圆于E*）12.（本小题满分14分）如图，已知△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F。（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长。（*此处应有示意图，直角三角形ABC，∠C=90°，AC上有一点O，以O为圆心OA为半径作圆，交AB于D，BD中垂线EF交BC于E，交BD于F*）13.（本小题满分15分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，过点A作AD⊥PC于点D，AD交⊙O于点E。（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=6，∠P=30°，求线段AE的长。（*此处应有示意图，圆O，直径AB水平向右延长至P，过C点（在圆上，位于第一象限）作切线PC，AD垂直PC于D，AD交圆于E*）14.（本小题满分15分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BA的延长线于点E，再以点B为圆心，BE为半径画弧，交CB的延长线于点F。（1）求阴影部分的周长；（2）求阴影部分的面积。（*此处应有示意图，正方形ABCD，A在左下，B在右下，C在右上，D在左上。以A为圆心AD为半径画弧DE（E在BA延长线上），以B为圆心BE为半径画弧EF（F在CB延长线上）。阴影部分应为由这两段弧和线段FD（或其他根据图形示意的封闭区域，需明确，但原题未详述，此处假设为两个扇形重叠或特定区域，学生需根据标准图形理解，通常此类题阴影为外围两弧与边构成的区域*）---参考答案与评分标准（仅供阅卷参考）（注：此处仅为示例，完整答案需包含详细证明步骤和计算过程，针对每一问的得分点进行细化。）一、选择题1.C（3分）2.A（3分）3.C（3分）4.C（3分）5.A（3分）二、填空题6.50°或130°（4分，只填一个得2分）7.4√3（4分）8.4，2√5（每空2分，共4分）9.4.8（或24/5）（4分）三、解答题10.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC，∴根据垂径定理，BD=CD。（5分，写出定理名称或核心内容给分）（2）解：设⊙O的半径为r，则OB=r，OD=OE-DE=r-2。∵OD⊥BC，BC=8，∴BD=4。在Rt△OBD中，OB²=OD²+BD²，即r²=(r-2)²+4²。（4分）解得r=5。（3分）∴⊙O的半径为5。11.（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。∵∠ACB=∠AEB（同弧所对圆周角相等），∠ABC=∠AEC（圆内接四边形外角等于内对角或同弧所对圆周角）。（4分）∴∠AEB=∠AEC，即AE平分∠CAD。（3分）（2）解：∵∠BAC=40°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°。（3分）∴∠AEC=∠ABC=70°。（3分）12.（1）证明：连接OD。欲证DE是切线，需证OD⊥DE。∵EF垂直平分BD，∴EB=ED，∴∠EDB=∠EBD。（2分）∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA。（2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠OAD+∠EBD=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°。（3分）∴∠ODE=180°-90°=90°，即OD⊥DE。∴DE是⊙O的切线。（2分）（2）解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB=10。（1分）过O作OH⊥AB于H，则AH=HD（垂径定理）。由△AOH∽△ABC，得AO/AB=AH/AC，即2/10=AH/6，∴AH=6/5，AD=12/5。（2分）BD=AB-AD=10-12/5=38/5。设DE=BE=x，则EC=8-x。在Rt△OCE中，OC=AC-OA=6-2=4，OE²=OC²+EC²=4²+(8-x)²。（2分）在Rt△ODE中，OE²=OD²+DE²=2²+x²。∴4²+(8-x)²=2²+x²，解得x=4.9，即DE=49/10（或4.9）。（1分）13.（1）证明：连接OC。∵PC是⊙O切线，∴OC⊥PC。（2分）∵AD⊥PC，∴OC∥AD。∴∠DAC=∠OCA。（3分）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠DAB。（2分）（2）解：∵AB=6，∴OC=OA=3。在Rt△POC中，∠P=30°，OC=3，∴OP=6，PC=3√3。（3分）∴AP=OP-OA=6-3=3。AD=AP·sin30°=3×1/2=3/2。PD=AP·cos30°=3√3/2。（3分）设AD交⊙O于E，连接BE。∵AB是直径，∴∠AEB=90°=∠ADC。∴BE∥PC。（2分）∴△ABE∽△APC，AE/AC=AB/AP=6/3=2，AE=2AC。在Rt△ADC中，AC=AD/cos∠DAC，而∠DAC=∠OAC=30°（∵∠P=30°，∠COP=60°，OC∥AD，∠OAC=∠DAC=30°）。∴AC=(3/2)/cos30°=(3/2)/(√3/2)=√3。∴AE=2√3。（此解法供参考，亦可通过其他方法如勾股定理或切割线定理求解）（3分）14.（1）解：阴影部分周长由弧DE、弧EF和线段FD（或根据图形确定的其他线段）组成。正方形边长为4，AE=AD=4，BE=BA+AE=4+4=8。（2分）弧DE是以A为圆心，4为半径的四分之一圆弧（因为∠DAE=90°），其长为(90°/360°)×2π×4=2π。（3分）弧EF是以B为圆心，8为半径的四分之一圆弧（因为∠FBE=90°），其长为(90°/360°)×2π×8=4π。（3分）BF=BE=8，BC=4，∴CF=BF-BC=8-4=4，CD=4，FD=√(CF²+CD²)=√(4²+4²)=4√2。（3分）∴阴影部分周长=2π+4π+4√2=6π+4√2。（2分）（2）解：阴影部分面积可视为扇形BAF面积减去扇形DAE面积再减去矩形ABCF面积（或根据图形具体分析）。S扇形BAF=(90°/360°)×π×8²=16π。（2分）S扇形DAE=(90°/360°)×π×4²=4π。（2分）S矩形ABCF=AB×BC=4×4=16。（2分）∴S阴影=S扇形BAF-