2026浙教版九年级数学上圆的知识点总结及习题

2026浙教版九年级数学上圆的知识点总结及习题圆，作为平面几何中的基本图形之一，不仅承载着丰富的性质，更在实际生活中有着广泛的应用。九年级上册的圆章节，是对平面几何知识体系的一次重要拓展与深化。本章的学习，要求同学们在理解圆的基本概念和性质的基础上，能够灵活运用这些知识解决几何证明与计算问题，并初步体会数形结合、转化与化归等重要的数学思想方法。以下将对本章的核心知识点进行梳理，并辅以典型习题，帮助同学们巩固提升。一、圆的基本概念与性质（一）圆的定义与相关元素在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的端点叫做圆心，这条线段叫做半径。从集合的观点来看，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。*圆心（O）：圆的中心，决定圆的位置。*半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小。在同圆或等圆中，所有半径都相等。*直径（d）：经过圆心并且两端都在圆上的线段。在同圆或等圆中，直径是半径的两倍，所有直径都相等。*弦：连接圆上任意两点的线段。直径是圆中最长的弦。*弧：圆上任意两点间的部分。弧分为优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）和半圆。能够重合的弧叫做等弧。*圆心角：顶点在圆心的角。*圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。（二）圆的基本性质1.圆的对称性：*圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。*圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，因此圆具有旋转不变性。2.垂径定理及其推论：*垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。*推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（理解此定理及推论时，需把握“过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”这五个条件中，只要其中两个条件成立，另外三个条件也成立，但要注意“平分弦”这个条件中的弦不能是直径，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直。）3.圆心角、弧、弦之间的关系：*在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。（此定理体现了圆的旋转不变性，是证明弧相等、弦相等、圆心角相等的重要依据。）4.圆周角定理及其推论：*圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。*推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。*推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。*推论3：圆内接四边形的对角互补。（如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。）二、点与圆、直线与圆的位置关系（一）点与圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d。则：*点在圆外⇔d>r*点在圆上⇔d=r*点在圆内⇔d<r过三点的圆：*不在同一直线上的三个点确定一个圆。（三角形的外接圆、外心）*经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。外心到三角形三个顶点的距离相等。（二）直线与圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d。则：*直线与圆相离⇔d>r（无公共点）*直线与圆相切⇔d=r（有唯一公共点，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点）*直线与圆相交⇔d<r（有两个公共点，这条直线叫做圆的割线）切线的判定与性质：*切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。*切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（证明一条直线是圆的切线，常用思路：①若已知直线与圆有公共点，则“连半径，证垂直”；②若未知直线与圆是否有公共点，则“作垂直，证半径”。）*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（切线长是指圆外一点到切点之间的线段的长度。）三角形的内切圆：*与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。（三）圆与圆的位置关系（简要介绍，具体以教材为准）设两圆的半径分别为R和r（R>r），圆心距为d。则两圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切、内含五种情况，分别对应d>R+r、d=R+r、R-r<d<R+r、d=R-r、d<R-r。三、圆的有关计算1.圆的周长与面积：*周长：C=2πr=πd*面积：S=πr²2.弧长与扇形面积：*弧长公式：在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l=(nπr)/180*扇形面积公式：S扇形=(nπr²)/360或S扇形=(1/2)lr（其中l为扇形的弧长）3.圆锥的侧面积与全面积：*圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的底面半径为r，母线长为l（即侧面展开图扇形的半径）。*圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长：2πr=(nπl)/180*圆锥的侧面积：S侧=πrl*圆锥的全面积：S全=S侧+S底=πrl+πr²四、习题巩固（一）选择题1.下列说法中，正确的是（）A.弦是直径B.半圆是弧C.过圆心的线段是直径D.圆心相同半径相等的两个圆是同心圆（考查知识点：圆的基本概念）2.如图，在⊙O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为E，若CD=10，AE=2，则BE的长为（）A.2B.3C.4D.6（考查知识点：垂径定理）3.如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB=70°，则∠ACB的度数为（）A.35°B.40°C.55°D.70°（考查知识点：圆周角定理）4.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.无法确定（考查知识点：直线与圆的位置关系）5.下列四个命题中，真命题是（）A.经过三点一定可以作圆B.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C.平分弦的直径垂直于弦D.相等的圆心角所对的弧相等（考查知识点：圆的基本性质综合）（二）填空题6.已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P在⊙O的______（填“内部”、“外部”或“上”）。（考查知识点：点与圆的位置关系）7.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=30°，BC=2，则AB的长为______。（考查知识点：圆周角定理推论、直角三角形性质）8.一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则这个扇形的面积为______。（结果保留π）（考查知识点：扇形面积公式）9.已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为______。（结果保留π）（考查知识点：圆锥侧面积公式）10.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠APB=60°，PA=2，则⊙O的半径为______。（考查知识点：切线长定理、直角三角形性质）（三）解答题11.如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD交AB于点E，且CE=DE。求证：AB⊥CD。（考查知识点：垂径定理的推论）12.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°。若AD=6，求AC的长。（考查知识点：圆周角定理、直角三角形性质）13.如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D。若AD=3，DC=2，求⊙O的半径。（考查知识点：切线的性质、相似三角形或勾股定理）14.如图，已知△ABC，∠B=90°，AB=6，BC=8。（1）求△ABC的外接圆半径；（2）求△ABC的内切圆半径。（考查知识点：三角形的外接圆与内切圆）15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点O在AB上，以O为圆心，OA为半径作⊙O，与AC交于点D。（1）若⊙O与BC相切，求⊙O的半径；（2）在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）。（考查知识点：切线性质、勾股定理、扇形面积、阴影面积计算）---习题参考答案与提示：（一）选择题1.B（提示：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径；半圆是弧的一种；过圆心的弦才是直径；同心圆是圆心相同半径不同的圆。）2.D（提示：CD是直径，所以半径OC=OD=5。设OE=x，则CE=5-x或x-5（需根据E点位置判断，因AE=2，CD=10，故E在OA段，OE=OA-AE=5-2=3？不，应使用垂径定理，AE=BE？不，题目说AE=2，求BE。设BE=x，因为AB被CD垂直平分，所以AE=BE？题目条件是“弦AB垂直于直径CD”，由垂径定理知AE=BE。哦！对！垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。所以AE=BE=2？那答案是A？题目是不是说“AE=2”，求BE？那就是2。但原题目我设计的是“AE=2”，那BE也等于2。可能我之前想复杂了。那就选A。）（*注：此处原设想可能有误，按垂径定理，AE=BE，故若AE=2，则BE=2，答案A。*）3.A（提示：∠ACB是圆周角，∠AOB是圆心角，同对弧AB，所以∠ACB=1/2∠AOB=35°。）4.C（提示：d=3<r=5，故相交。）5.B（提示：A需三点不共线；C平分弦（非直径）的直径才垂直于弦；D需在同圆或等圆中。）（二）填空题6.内部（提示：d=3<r=4。）7.4（提示：AB是直径，故∠ACB=90°。在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=2，所以AB=2BC=4。）8.6π（提示：S扇形=(60π×6²)/360=6π。）9.15π（提示：S侧=πrl=π×3×5=15π。）10.2√3/3（提示：PA=PB，∠APB=60°，故△PAB是等边三角形。连接OA，则OA⊥PA，在Rt△OPA中，∠OPA=30°，PA=2，设OA=r，则OP=2r，由勾股定理：r²+2²=(2r)²，解得r=2√3/3。）（三）解答题11.证明：∵AB是⊙O的直径，点O是圆心。又∵CE=DE，即CD是弦，且E是CD的中点。∴由垂径定理的推论（平分弦的直径垂直于弦）可得AB⊥CD。12.解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角）。∵∠ABC=30°，∴∠ADC=∠ABC=30°（同弧所对的圆周角相等）。在Rt△ACD中，AD=6，∠ADC=30°，∴AC=1/2AD=3。13.解：连接BD。∵AB是直径，∴∠ADB=90°。∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，∠ABC=90°。∴∠ADB=∠ABC。又∵∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC。∴AD/AB=AB/AC。即AB²=AD·AC。∵AD=3，DC=2，∴AC=AD+DC=5。∴AB²=3×5=15，AB=√15。∴⊙O的半径为AB/2=√15/2。（或用勾股定理：设AB=x，BC²=AC²-AB²=25-x²，又BC²=CD·CA=2×5=10（切割线定理，若未学则用相似）。）14.解：（1）∵∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，其外接圆圆心是斜边AC的中点。AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10。∴外接圆半径R=AC/2=5。（2）设内切圆