随机信号基础-4平稳随机信号

现代信号处理

(ModernSignalProcessing)信号处理课程组信息与控制工程学院

第二章随机信号基础主讲教师：张晓光平稳随机信号

主要内容：1.连续平稳随机信号及其数学描述2.离散平稳随机信号3.常见的离散平稳随机信号4.离散随机信号的线性系统响应5.MATLAB实现重点与难点：平稳随机信号相关概念平稳随机信号一、连续平稳随机信号及其数学描述平稳随机信号的特性不随时间变化，换句话说数学特征与所选的时间起点无关。平稳随机信号分为两类：严格平稳和广义平稳。严格平稳随机信号：也称为狭义平稳或严平稳，其任意维度的分布函数或概率密度函数与时间起点无关。式中：τ=t

2-t

1,表示时间间隔。平稳随机信号的特性不随时间变化，换句话说数学特征与所选的时间起点无关。平稳随机信号分为两类：严格平稳和广义平稳。广义平稳随机信号：也称为二阶平稳或宽平稳，要求比严格平稳稍宽松一些。它要求随机信号的数学期望（均值）和方差与时间无关，并且其自相关函数仅依赖于时间间隔，而不是特定的时间点。连续平稳随机信号具有如下统计特性：均值（数学期望）方差自协方差函数互相关函数互协方差函数自相关函数均方差二、离散平稳随机信号1.平稳随机序列及其数学描述

离散平稳随机信号又称平稳随机序列，其统计特性不随时间而发生变化，分为严格平稳随机序列和广义平稳随机系列。平稳随机序列的一维概率密度函数与时间无关，因此均值、方差和均方值均是与时间无关的常数，分别表示如下：均值方差自协方差函数自相关函数互相关函数实平稳随机序列的相关函数、协方差函数有如下性质：1）自相关函数和自协方差函数是m的偶函数，即有2）

数值上等于随机序列的平均功率：3）4）5）2.离散平稳随机信号的功率谱

为自相关函数的离散时间傅里叶变换，称为功率谱密度，简称功率谱。离散时间反傅里叶变换表达式为实平稳随机序列的功率谱有如下性质：（1）功率谱是

的偶函数（2）功率谱是实的非负函数3.平稳随机序列的各态历经性

平稳随机信号X(n)，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性和单一样本函数在长时间内的统计特性一致，则称X(n)为各态遍历信号。

时间平均时间平均1.白噪声序列三、常见的离散平稳随机信号随机序列的变量不同时刻之间是两两不相关的，即其中

，称该随机序列为白噪声序列。白噪声序列，其功率谱在

的范围内始终为一常数白噪声是随机性最强的随机序列，实际上不存在，是一种理想的噪声。服从高斯（正态）分布的白噪声序列称为高斯（正态）白噪声序列2.正态（高斯）随机序列三、常见的离散平稳随机信号如果一个随机信号满足则称该随机信号为马尔可夫过程。如果一个随机信号是高斯过程同时又是马尔可夫过程，则称该信号为高斯-马尔可夫过程(或正态-马尔可夫过程)。高斯-马尔可夫过程自相关函数和谱密度函数为四、离散随机信号的线性系统响应

平稳随机信号x(n)通过一线性移不变系统H(z)(单位冲激响应为h(n))，输出为y(n)：y(n)也是随机的，且也是平稳的。已知实随机信号x(n)的如何求得y(n)的这些特征量？1.均值my因为所以有与时间无关的常数2.自相关函数

及功率谱结论：对于一个线性非时变系统，如果用一个平稳随机信号激励，则输出信号也将是一个平稳随机信号。因为所以结论：x(n)与h(n)的卷积的自相关，等于x(n)的自相关和h(n)的自相关的卷积。v(m)是h(·)的自相关序列，是时间卷积的结果。ifthen相关-卷积定理

推广：卷积的相关，等于相关的卷积2.自相关函数及功率谱维纳--辛钦定理:含义：一个随机信号通过系统H(z)，从频域看其输出功率谱密度等于输入功率谱密度与H(ejω)的模平方的乘积

3.互相关函数

及互功率谱密度输入-输出互相关定理3.互相关函数

及互功率谱密度线性非时变系统的输入与输出间的互相关函数

与输入自相关函数

及输出自相关函数

间的关系：等于和h(m)的卷积

等于与h(-m)的卷积3.互相关函数

及互功率谱密度设

（自相关函数的z变换存在）则将上式转换到z域有：用功率谱表示有3.互相关函数

及互功率谱密度当输入为白噪声时，其功率谱密度

为常数＝平均功率白噪声的功率在频率轴上的分布密度到处相同，并且它就等于输入信号的平均功率。3.互相关函数

及互功率谱密度将代入中，有将代入中，有白噪声激励的线性非时变系统，其输入、输出互相关函数正比于系统的冲激响应输入、输出的互功率谱正比于系统的频率响应五、MATLAB实现1.信号生成（1）白噪声生成：randn函数生成标准正态分布（均值为0，方差为1）的随机数。例如，randn(1,1024)（2）有色噪声生成：通过对白噪声信号应用滤波器，可以生成具有特定频谱特性的有色噪声。（3）特定分布生成：makedist和random函数2.统计分析（1）数字特征估计：利用mean、var、std估计随机序列的数字特征，包括均值、方差和标准差。（2）自相关函数计算：xcorr函数计算信号的自相关函数。3.功率谱估计（1）经典功率谱估计：使用fft函数计算随机信号的频谱，进而得到功率谱。（2）现代功率谱估计：利用参数化方法或子空间方法进行功率谱估计。4.线性系统分析（1）系统冲激响应分析：模拟随机信号通过线性系统，分析系统的冲激响应和频率响应特性。（2）信号传输特性分析：例如，模拟一个通信系统，输入随机信号，分析输出信噪比。5.性能测试仿真与实验验证：通过MATLAB的仿真工具，如Simulink，可以模拟复杂的动态系统，验证算法在各种条件下的性能。例2-3计算长度N=5000的正态高斯随机信号的均值、均方差、均方根值、方差和均方差。MATLAB实现程序如下：N=50000;randn('state',0);y=randn(1,N);disp('平均值:');yM=mean(y)disp('平方值:');yp=y*y'/Ndisp('平方根:');ys=sqrt(yp)disp('标准差:');yst=std(y,1)disp('方差:');yd=yst.*yst程序运行结果如下：平均值:yM=0.0090平方值:yp=1.0087平方根:ys=1.0043标准差:yst=1.0043方差:yd=1.0086例2-4产生一个正态随机序列MATLAB实现程序如下：clc;clear;a=0.8;sigma=2;N=500;u=randn(N,1);x(1)=sigma*u(1)/sqrt(1-a^2);fori=2:Nx(i)=a*x(i-1)+sigma*u(i);endplot(x);xlabel('n');ylabel('x(n)');

随机序列例2-5对随机信号进行概率密度分析。MATLAB实现程序如下：clc;clear;a=0.8;sigma=2;N=200;u=randn(N,1);x(1)=sigma*u(1)/sqrt(1-a^2);fori=2:Nx(i)=a*x(i-1)