八年级线段的垂直平分线练习题

八年级线段的垂直平分线练习题线段的垂直平分线是平面几何中的重要概念，它不仅揭示了线段的对称性，更为我们解决与线段中点、距离相等相关的几何问题提供了有力的工具。扎实掌握线段垂直平分线的性质与判定，并能灵活运用于解题，是八年级几何学习的关键一环。以下练习题将帮助你巩固这一知识点，提升几何推理能力。一、知识回顾与要点梳理在开始练习之前，让我们简要回顾一下线段垂直平分线的核心内容：1.定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。2.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。*几何语言描述：如图，若直线MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，则PA=PB。3.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。*几何语言描述：如图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。4.重要提示：*性质定理常用于证明两条线段相等。*判定定理则为我们提供了确定线段垂直平分线位置的依据。*三角形三边的垂直平分线交于一点，该点称为三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离相等。二、基础巩固练习1.填空题(1)已知线段AB，若直线l是AB的垂直平分线，点C在l上，且AC=5cm，则BC=______cm。(2)若点P在线段MN的垂直平分线上，且PM=3，则PN=______。(3)线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离______的所有点的集合。(4)在三角形ABC中，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若AE=3，EC=2，则AC=______。2.选择题(1)下列说法中，正确的是（）A.过线段中点的直线是这条线段的垂直平分线B.垂直于线段的直线是这条线段的垂直平分线C.过线段中点且垂直于这条线段的直线是它的垂直平分线D.线段的垂直平分线是一条射线(2)到三角形三个顶点距离相等的点是三角形（）的交点。A.三条中线B.三条高C.三条角平分线D.三条边的垂直平分线三、解答与证明题1.如图，在△ABC中，AB=AC，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE。若∠A=40°，求∠EBC的度数。思路分析：首先，由AB=AC及∠A=40°，可利用等腰三角形的性质求出∠ABC的度数。其次，因为DE是AB的垂直平分线，根据其性质可知AE=BE，进而得到∠ABE=∠A。最后，用∠ABC减去∠ABE即可得到∠EBC的度数。解答过程：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)/2=(180°-40°)/2=70°。∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。∴∠ABE=∠A=40°。∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=70°-40°=30°。答：∠EBC的度数为30°。2.如图，已知在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为O。求证：AB=AD，CB=CD。思路分析：要证明AB=AD，CB=CD，观察到AC垂直平分BD，即AC是线段BD的垂直平分线。点A和点C都在直线AC上，根据线段垂直平分线的性质定理，即可直接得出结论。证明过程：∵AC垂直平分BD，垂足为O，∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C也在线段BD的垂直平分线上。∴AB=AD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），CB=CD（同理）。∴AB=AD，CB=CD。3.如图，已知点P是△ABC的边BC的垂直平分线上的一点，且∠PBC=∠A，BP、CP的延长线分别交AC、AB于点D、E。求证：BE=CD。思路分析：此题稍复杂，需构造全等三角形来证明BE=CD。首先，由于点P在BC的垂直平分线上，可得PB=PC，进而∠PBC=∠PCB。又已知∠PBC=∠A，通过角的等量代换和三角形内角和定理，可证得∠BEP=∠CDP。再结合对顶角相等，即可证明△BEP≌△CDP（AAS），从而得出BE=CD。证明过程：∵点P在BC的垂直平分线上，∴PB=PC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。∴∠PBC=∠PCB（等边对等角）。∵∠PBC=∠A，∴∠PCB=∠A。在△BEP和△CDP中，∠BEP=∠A+∠ADE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠CDP=∠PCB+∠DPC（同理）。又∵∠ADE=∠DPC（对顶角相等），∠PCB=∠A，∴∠BEP=∠CDP。又∵∠EPB=∠DPC（对顶角相等），PB=PC，∴△BEP≌△CDP（AAS）。∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）。四、方法总结与提升解决与线段垂直平分线相关的问题，关键在于熟练掌握其性质定理和判定定理。性质定理（垂直平分线上的点到两端距离相等）常用来证明线段相等，而判定定理（到两端距离相等的点在垂直平分线上）则常用于证明某条直线是线段的垂直平分线。在具体解题时，要注意观察图形，善于从题目条件中捕捉与垂直平分线相关的信息。例如，看到“垂直平分”字样，应立即联想到线段相等；若要证明某点在垂直平分线上，则需证明该点到线段两端的距离相等。对于较复杂的