2026-2026学年新人教A版必修1高中数学1.3.1函数的单调性与最大值教学设计

2026-2026学年新人教A版必修1高中数学1.3.1函数的单调性与最大值教学设计一、教学理念与设计思路本节课的设计立足于学生已有的函数概念和图像认知基础，旨在引导学生从直观感知走向理性分析，逐步构建函数单调性与最大值的严格数学定义。教学过程强调以学生为主体，通过问题驱动、实例分析、合作探究等方式，让学生经历概念的形成过程，体会数形结合、从特殊到一般的数学思想方法。同时，注重数学语言的规范表达和逻辑推理能力的培养，为后续学习更复杂的函数性质奠定坚实基础。二、教材分析“函数的单调性与最大值”是新人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第三节内容。它是函数的核心性质之一，不仅是研究函数图像、比较函数值大小、求函数最值的重要工具，也是后续学习导数、不等式等内容的基础。本节内容承接了函数的概念和表示方法，通过对函数单调性的研究，能进一步深化学生对函数概念的理解，并初步培养学生用数学符号语言描述函数变化规律的能力。最大值作为函数单调性的一个重要应用，其概念的理解和求解过程，也能进一步巩固学生对单调性的认识。三、学情分析学生在初中阶段已经学习过一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质，对函数的增减变化有初步的直观认识，能够结合图像判断一些简单函数的增减趋势。进入高中后，学生又学习了集合、函数的概念及表示方法，具备了用集合与对应的语言描述函数的基础。然而，将直观的增减性上升到严格的数学定义，并用符号语言进行准确描述，对学生而言是一个难点。学生可能在理解“任意”取值、“当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)”（或“f(x₁)>f(x₂)”）这样的逻辑表述时存在困难。同时，从单调性定义出发证明函数的单调性，以及利用单调性求函数最大值，也是学生需要突破的重点。四、教学目标（一）知识与技能1.通过具体函数图像的观察，理解函数单调性的概念，能结合图像描述函数的单调性。2.掌握函数单调性的严格定义，并能根据定义判断或证明一些简单函数的单调性。3.理解函数最大值的概念，能利用函数的单调性求一些简单函数的最大值。（二）过程与方法1.经历从具体函数图像的直观感知到单调性定义的抽象概括过程，培养学生观察、分析、归纳、抽象概括的能力。2.在探究函数单调性定义的过程中，体会数形结合、从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。3.通过利用定义证明函数单调性的过程，培养学生逻辑推理和数学表达能力。（三）情感态度与价值观1.通过对函数单调性的探究，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学习数学的兴趣。2.在合作与交流中，培养学生主动参与、勇于探索的精神和合作意识。3.体会数学在描述客观世界变化规律中的作用，增强应用意识。五、教学重难点（一）教学重点1.函数单调性的概念及其理解。2.利用函数单调性的定义判断或证明函数的单调性。3.函数最大值的概念及利用单调性求最大值。（二）教学难点1.函数单调性定义中“任意”二字的理解。2.利用单调性定义证明函数单调性的步骤和规范性表达。3.从图像直观到符号语言表述的过渡。六、教学方法与手段1.教学方法：启发式教学法、问题驱动法、探究式学习法、讲练结合法。2.教学手段：多媒体课件（PPT）、几何画板（用于动态演示函数图像变化）、黑板板书（用于重点概念、证明过程的规范书写）。七、教学过程（一）创设情境，引入课题教师活动：1.展示气温变化曲线图（如一天24小时的气温变化），引导学生观察图像的升降趋势，提问：“图像的上升和下降分别表示什么含义？”2.回顾初中学习过的一次函数y=kx+b(k≠0)、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像，提问：“这些函数的图像在定义域内或某个区间上是一直上升的，还是一直下降的？或者有升有降？”3.引出课题：函数的这种上升与下降的变化趋势，就是我们今天要深入研究的函数的重要性质——单调性。（板书课题：1.3.1函数的单调性与最大值）学生活动：观察图像，思考并回答问题，初步感知函数的增减变化。设计意图：从学生熟悉的实际问题和已有知识出发，创设情境，激发学生的学习兴趣，自然引入本节课的主题。（二）探究新知，形成概念1.函数单调性的直观感知与描述性定义教师活动：1.展示函数f(x)=x²的图像，引导学生观察：在y轴左侧，图像呈下降趋势；在y轴右侧，图像呈上升趋势。2.提问：“如何用通俗的语言描述这种‘上升’和‘下降’的趋势？”（引导学生说出：在y轴右侧，随着x的增大，y也增大；在y轴左侧，随着x的增大，y反而减小。）3.给出增函数、减函数的描述性定义：如果函数y=f(x)在某个区间上，当x增大时，y也随着增大，我们就说这个函数在这个区间上是增函数；当x增大时，y反而减小，我们就说这个函数在这个区间上是减函数。学生活动：观察图像，用自己的语言描述函数值随自变量变化的规律，理解描述性定义。设计意图：从直观图像入手，引导学生用自然语言描述函数的单调性，为后续抽象出严格定义做铺垫。2.函数单调性的严格定义教师活动：1.提出问题：“‘x增大’、‘y增大’这样的描述不够精确，如何用数学语言更准确地刻画‘当x增大时，y也增大’这一特征呢？”2.以f(x)=x²在(0,+∞)上的单调性为例，引导学生思考：*在(0,+∞)上任取两个点x₁,x₂，若x₁<x₂，那么f(x₁)与f(x₂)的大小关系如何？（f(x₁)=x₁²，f(x₂)=x₂²，因为x₁<x₂且都为正，所以x₁²<x₂²，即f(x₁)<f(x₂)）*“任取”两个字有何意义？（强调不能只取特定的点，要具有一般性）3.引导学生抽象概括出增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction）。4.类比增函数的定义，引导学生尝试给出减函数的定义。5.强调定义中的关键词：“定义域I内某个区间D”、“任意”、“都有”。指出区间D是定义域I的子集，函数的单调性是函数在某个区间上的局部性质。6.给出单调区间的概念：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。学生活动：思考教师提出的问题，参与讨论，尝试用数学符号语言描述单调性，理解定义中的关键要素，对比增函数和减函数定义的异同。设计意图：通过问题链引导学生从直观描述走向理性思考，逐步抽象出严格的数学定义，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。强调定义中的关键术语，帮助学生准确理解概念。3.函数单调性定义的初步应用（判断单调性）教师活动：1.例1：如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数。（课件展示图像，引导学生观察图像，找出上升和下降的区间，并判断单调性）2.强调：单调区间的端点是否包含在内，要看函数在该点是否有定义以及单调性是否保持。通常情况下，若端点处有定义，可包含也可不包含，但在后续求最值时需注意。学生活动：观察图像，找出单调区间，并判断其单调性，回答问题。设计意图：通过图像判断函数的单调性，是单调性概念的直接应用，帮助学生巩固对单调性的理解，同时培养读图识图能力。（三）深化理解，证明探究1.利用定义证明函数的单调性教师活动：1.提出问题：“对于一个给定的函数，如f(x)=2x+1，我们如何利用单调性的定义证明它在R上是增函数呢？”2.引导学生回顾定义，分析证明思路：*第一步：设元。任取定义域内的两个自变量x₁,x₂，且x₁<x₂。*第二步：作差。计算f(x₁)-f(x₂)。*第三步：变形。对差式进行变形（因式分解、配方、有理化等），以便判断其符号。*第四步：定号。判断f(x₁)-f(x₂)的符号。*第五步：下结论。根据定义得出函数的单调性。3.板书示范证明过程：证明函数f(x)=2x+1在R上是增函数。证明：任取x₁,x₂∈R，且x₁<x₂，则f(x₁)-f(x₂)=(2x₁+1)-(2x₂+1)=2(x₁-x₂)。因为x₁<x₂，所以x₁-x₂<0，所以f(x₁)-f(x₂)=2(x₁-x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)。所以，函数f(x)=2x+1在R上是增函数。4.练习：让学生尝试证明函数f(x)=-x+1在R上是减函数，并请一位学生上黑板板演，教师巡视指导，点评板演过程。5.例2：证明函数f(x)=x²在(0,+∞)上是增函数。（引导学生思考如何作差变形，强调x₁,x₂的取值范围）证明：任取x₁,x₂∈(0,+∞)，且x₁<x₂，则f(x₁)-f(x₂)=x₁²-x₂²=(x₁-x₂)(x₁+x₂)。因为x₁<x₂，所以x₁-x₂<0。又因为x₁,x₂∈(0,+∞)，所以x₁+x₂>0。所以f(x₁)-f(x₂)=(x₁-x₂)(x₁+x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)。所以，函数f(x)=x²在(0,+∞)上是增函数。学生活动：跟随教师思路，理解证明步骤，模仿例题进行证明练习，上黑板板演，相互点评。设计意图：通过教师示范和学生亲自动手实践，使学生掌握利用定义证明函数单调性的一般步骤和方法，培养学生的逻辑推理能力和规范的数学表达能力。（四）拓展延伸，引入最大值1.函数最大值的概念教师活动：1.展示函数f(x)=-x²+2x+3的图像（开口向下的抛物线），引导学生观察：函数在顶点处取得一个“最高点”。2.提问：“这个最高点的函数值与其他点的函数值有什么关系？”（这个值比函数在其定义域内其他点的函数值都要大）3.给出函数最大值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x₀∈I，使得f(x₀)=M。那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）。4.强调定义中的“任意”和“存在”两个关键词的含义。5.类比最大值的定义，简要介绍函数最小值的概念（可作为课后思考）。学生活动：观察图像，思考并回答问题，理解最大值的概念及其几何意义。设计意图：结合图像引入最大值概念，直观易懂。通过对比单调性定义中的“任意”，帮助学生理解最大值定义中的“任意”和“存在”的含义。2.利用单调性求函数的最大值教师活动：1.例3：已知函数f(x)=-x+3，x∈[-1,2]，求函数的最大值。（引导学生分析：一次函数f(x)=-x+3的斜率k=-1<0，所以在R上是减函数，因此在区间[-1,2]上也是减函数。故当x取最小值时，函数值最大。）解：因为函数f(x)=-x+3在R上是减函数，所以在区间[-1,2]上也是减函数。因此，当x=-1时，函数取得最大值，f(-1)=-(-1)+3=4。2.例4：求函数f(x)=x²-2x在区间[0,3]上的最大值。（引导学生先判断函数在区间[0,3]上的单调性。可通过配方f(x)=(x-1)²-1，或画出图像，可知函数在[0,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数。因此，最大值在区间端点处取得。计算f(0)=0，f(3)=9-6=3，所以最大值为3。）3.总结：若函数在闭区间上单调，则其最大值和最小值在区间端点处取得；若函数在闭区间上不单调，则需考察函数的单调区间，比较各单调区间端点的函数值。学生活动：思考教师提出的问题，参与分析函数的单调性，尝试求解函数的最大值，总结解题方法。设计意图：通过实例，使学生掌握利用函数单调性求函数最大值的方法，体会单调性的应用价值，同时巩固对单调性的理解。（五）课堂练习，巩固提升教师活动：布置练习题：1.教材Pxx练习第x题：根据函数图像写出单调区间及单调性。2.证明函数f(x)=1/x在(0,+∞)上是减函数。3.求函数f(x)=2x-1在区间[-2,1]上的最大值。（学生独立完成，教师巡视，对有困难的学生进行个别辅导，然后选取部分题目进行集体讲评。）学生活动：独立完成练习，小组内可进行讨论交流。设计意图：通过练习，及时巩固本节课所学的知识和方法，检验学习效果。（六）课堂小结，回顾反思教师活动：1.引导学生回顾本节课学习的主要内容：*函数单调性的定义（增函数、减函数）及