结构动力学 第2版

1/36结构动力学2/36结构动力学教科书●

刘晶波杜修力主编 结构动力学第2版 机械工业出版社 2022年1月第2版第1印刷，

3/36结构动力学参考书●

A.K.Chopra, DynamicsofStructures, PrenticeHall, 1995,2000.4/36结构动力学参考书●

A.K.Chopra著,

谢礼立吕大刚等译

结构动力学，

高等教育出版社，

2007,2016。5/36结构动力学参考书●

R.W.CloughandJ.Penzien, DynamicsofStructures, McGraw-Hill, 1993,1995.6/36结构动力学参考书●

R.克拉夫

J.彭津著, 王光远等译校 结构动力学， 第二版(修订版)， 高等教育出版社， 2006。7/36结构动力学参考书●

李东旭著,高等结构动力学，科学出版社，2010。●

唐友刚著,高等结构动力学，天津大学出版社，2002。●

诸德超邢誉峰主编,工程振动基础，北京航空航天大学出版社，2004。●

张相庭王志培等编著,结构振动力学，同济大学出版社，2005。●

W.T.Thomson,M.D.Dahleh,振动理论及应用(第5版/英文版)，清华大学出版社，2007。●

张雄王天舒编著,计算动力学，清华大学出版社，2007。●

S.S.Rao著

李欣业张明路编译,机械振动，清华大学出版社，2009。

8/36结构动力学总成绩：①平时成绩②期中成绩③期末成绩总成绩＝平时成绩×(30～40%)＋期中成绩×(20%)＋期末成绩×(40～50%)9/36课程内容简介

本课程将系统讲授结构动力学基础理论知识和基本计算分析方法。通过单自由度体系、多自由度体系和无限自由度体系的系列教学，使学生系统掌握结构动力学的基本理论和分析方法通过结构动力问题分析中的数值分析方法、离散化分析和随机振动分析的系列教学使学生具备分析和解决理论研究和实际工程问题的能力通过介绍若干重要的前沿研究成果，使学生能较迅速接触到结构动力学研究领域的前沿结构动力分析的基础理论知识解决科研和工程中动力问题的技能和方法了解和掌握与结构动力学相关的科学前沿问题10/36

结构动力学

第1章概述11/36第1章概述1.1

结构动力分析的目的12/361.1

结构动力分析的目的动力问题:地震作用下建筑结构、桥梁、大坝、地下结构的震动；风荷载作用下大型桥梁、高层结构的振动；机器转动产生的不平衡力引起的大型机器基础的振动；车辆运行中由于路面不平顺引起的车辆振动及车辆引起 的路面和邻近建筑的振动、地铁运行引起的建筑振动；爆炸荷载作用下防护工事的冲击动力反应，大型飞机撞 击建筑结构、核电厂；

ㆍㆍㆍ等等，量大而面广。动力破坏的特点:

突发性、毁灭性、波及面大。13/36结构动力分析的目的：确定动力荷载作用下结构的内力和变形；通过动力分析确定结构的动力特性。结构动力学：研究结构体系的动力特性及其在动力荷载作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科。该学科的目的：为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。14/36第1章概述1.2

动力荷载的类型15/361.2

动力荷载的类型结构静力反应和动力反应不同的外因：荷载不同。根据荷载是否随时间变化，可把荷载分为：静荷载：

大小、方向和位置不随时间变化或缓慢变化的荷载。

例如：结构的自重、雪荷载等。动荷载：

随时间快速变化或在短时间内突然作用或消失的荷载。

荷载随时间变化是指其大小、或方向、或作用点随时间改变。作用点随时间变化的荷载称为移动荷载。16/361.2动力荷载的类型根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性荷载和非确定性荷载

确定性荷载：荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程。

非确定性荷载：荷载随时间的变化规律预先是不可以确定，是一种随机过程。预先的含义：指在进行结构动力分析之前(狭义定义)。17/361.2动力荷载的类型根据荷载是否预先确定，可将结构动力分析方法分为：确定性分析和随机振动分析当不考虑结构体系的不确定性时，选用哪种分析方法将依据荷载的类型而定。随机的含义：是指非确定的，但不是指复杂的。简单的荷载可以是随机的，例如

当A或

为不确定时。而复杂的荷载也可以是确定性的，例如已记录到的地震或脉动风引起的作用于建筑结构的地震作用或风荷载。18/36动力荷载的类型(根据荷载随时间的变化规律划分)（1）简谐荷载

荷载随时间周期性变化，并可以用简谐函数来表示。

可以是机器转动引起的不平衡力等。19/361.2动力荷载的类型（2）非简谐周期荷载

荷载随时间作周期性变化，是时间t的周期函数，但不能简单地用简谐函数来表示。例如：平稳情况下波浪对堤坝的动水压力；轮船螺旋桨产生的推力等。20/361.2动力荷载的类型（3）冲击荷载

荷载的幅值(大小)在很短时间内急剧增大或急剧减小。突加重量、爆炸引起的冲击波等。21/361.2动力荷载的类型（4）一般任意荷载荷载的幅值变化复杂、难以用解析函数解析表示的荷载。地震引起的地震动，环境振动引起的地脉动，脉动风引起的结构表面的风压时程等。22/361.2动力荷载的类型根据荷载的类型可以选择合适的分析计算方法23/36第1章概述1.3

结构动力计算的特点24/361.3

结构动力计算的特点

动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间。

与静力问题相比，由于动力反应中结构的位移随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要影响。静力问题和动力问题受力的区别25/36静力问题和动力问题位移反应的区别（惯性力引起的附加反应可能比相应的静力反应大得多）

26/361.3结构动力计算的特点结构动力学和静力学的本质区别：考虑惯性力的影响结构产生动力反应的内因(本质因素)：惯性力惯性力的出现使分析工作变得复杂，而对惯性力的了解和有效处理又可使复杂的动力问题分析得以简化。在结构动力反应分析中，有时可通过对惯性力的假设而使动力计算大为简化，如在框架结构地震反应分析中常采用的层模型。27/361.3结构动力计算的特点惯性力的产生是由结构的质量引起的，对结构中质量位置及其运动的描述是结构动力分析中的关键，这导致了结构动力学和结构静力学中对结构体系自由度定义的不同。动力自由度(数目)：动力分析中为确定体系任一时刻全部质量的几何位置所需要的独立参数(的数目)。独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。28/36第1章概述1.4

结构离散化方法29/361.4

结构离散化方法

实际结构—具有无限自由度。离散化：把无限自由度问题转化为有限自由度的过程。离散化方法：把无限自由度问题转化为有限自由度的数学处理方法。三种常用的离散化方法：

1、集中质量法、

2、广义坐标法、

3、有限元法。30/361、集中质量法

结构集中质量法离散化示意图31/36

2、广义坐标法

广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的广义坐标。（用来描述体系运动的一组独立坐标）简支梁：变形曲线可用三角级数的和来表示：sin(.)—

形函数(形状函数)，给定函数，满足边界条件；bn(t)—

广义坐标，一组待定参数，对动力问题是作为时间的函数。

32/362、广义坐标法

悬臂梁：用幂级数展开：根据约束边界条件：

取前N项：33/362、广义坐标法

对更一般的问题，结构的位移表示式可写为：

qn(t)—

广义坐标；

n(x)—

形函数，是满足边界条件的已知函数。一般情况下，采用广义坐标法，只有N项叠加后，得到的结果才是真实的物理量(例如位移)。34/363、有限元法

——

形函数定义在分片区域上。有限元法离散化示意图

例如：将梁分为N个单元，取节点位移参数(位移u和转角θ)为广义坐标35/363、有限元法

采用有限元法，梁的位移可表示为：在有限元法中，形函数也称为插值函数。36/363、有限元法

有限元法特点：综合了集中质量法和广义坐标法的优点(a)具有广义坐标法的特点。与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念。不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。(b)具有集中质量法相的优点。与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量法相同。数学处理上比集中质量法更完备。37/45结构动力学教师：刘晶波聂鑫清华大学土木工程系2021年秋38/45结构动力学第

2章

分析动力学基础与运动方程的建立39/45第2章分析动力学基础及运动方程的建立2.1

基本概念●

广义坐标与动力自由度

★

功和能

★

实位移、可能位移和虚位移

★

广义力

●

惯性力

●

恢复力

●

阻尼力

●

线弹性体系和粘弹性体系

●

非弹性体系40/452.1

基本概念2.1.1广义坐标与动力自由度广义坐标：能决定质点系(体系)几何位置的彼此独立的量称为该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚至面积和体积来表示。静力自由度的概念：

动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需的独立参数(的数目)称为结构的动力自由度。确定结构体系在空间中位置所需的独立参数(的数目)称为结构的自由度。41/452.1.1

广义坐标与动力自由度静力自由度：确定结构体系几何位置所需的独立参数(的数目)称为结构的自由度。

动力自由度：决定结构体系质量位置所需的独立参数(的数目)称为结构的动力自由度。Thenumberof

independentdisplacementsrequiredtodefinethedisplacedpositionsofallthemassesrelativetotheiroriginalpositioniscalledthenumberof

degreesoffreedom

(DOFs)fordynamicanalysis.—A.K.ChopraThenumberofdisplacementcomponentswhichmustbeconsideredinordertorepresenttheeffectsofallsignificantinertialforcesofastructuremaybetermedthenumberofdynamicdegreesoffreedomofthestructure. —R.W.Clough42/452.1.1

广义坐标与动力自由度动力自由度：决定结构体系质量位置所需的独立参数称为结构的动力自由度。动力自由度的数目：决定结构体系质量位置所需的独立参数的数目称为结构的动力自由度的数目。43/452.1基本概念2.1.2功和能

功 力对距离累积的物理量。

有势力和势能 满足：

力的大小和方向仅与位置有关；

力由一点移动到另一点所做的功仅与位置有关，而与运动路径无关。

动能 物体由于运动所具有的能量(kineticenergy)。44/452.1基本概念2.1.3实位移、可能位移和虚位移可能位移：满足所有约束条件(约束方程)的位移称为体系的可能位移。实位移：如果位移不仅满足约束条件(约束方程)，而且满足运动方程和初始条件，则称为体系的实位移。虚位移：在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下可能产生的任意组微小位移，称为体系的虚位移。45/452.1基本概念2.1.4广义力广义力：力或力系可以进行分解，力或力系向广义坐标分解(投影)后的量即为广义力。广义力是与广义坐标对应的力。46/452.1基本概念2.1.5

惯性力（InertialForce）

惯性：保持物体运动状态的能力。惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积，

方向与加速度的方向相反。

I

—表示惯性(Inertial)；m—质量(mass)；ü

—质点的加速度。坐标方向：向右为正u47/452.1基本概念2.1.6弹簧的恢复力（ResistingForceofSpring）

对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力

弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)的乘积

方向指向体系的平衡位置。s—表示弹簧或结构(Spring,Structure)k—弹簧的刚度(SpringStiffness)u—质点位移

48/452.1基本概念单层框架结构的水平刚度

h—框架结构的高度L—梁的长度E—弹性模量Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩49/452.1基本概念2.1.7

阻尼力（DampingForce）

阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用。阻尼的来源(物理机制)：(1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散；(2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦；(3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。粘性(粘滞)阻尼力(大小)可表示为：

D—表示阻尼(Damping)

c—阻尼系数(Dampingcoefficient)

—质点的运动速度

50/452.1基本概念阻尼系数

c的确定：不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因素综合影响的系数，结构阻尼系数一般是通过结构原型振动试验(现场试验)的方法得到。粘性(粘滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。其它常用的阻尼：

摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数；滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)；

流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。滞变阻尼——时滞阻尼——复阻尼51/452.1基本概念2.1.8

线弹性体系和粘弹性体系

(LinearlyelasticsystemandViscouselasticsystem)线弹性体系：由线性弹簧(或线性构件)组成的结构体系。

—最简单的理想化力学模型。

阻尼弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼影响时的结构体系。

粘弹性体系：当阻尼为粘性阻尼时的结构体系。

—结构动力分析中的最基本力学模型。52/452.1基本概念2.1.9

非弹性体系

(InelasticSystem)结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。构件(或弹簧)的恢复力可表示为fs是位移和速度的非线性函数。

非弹性体系中结构构件的力与位移关系

53/45第2章分析动力学基础及运动方程的建立2.2

基本力学原理与运动方程的建立

◆

牛顿(Newton)第二定律

◆

D’Alembert原理

◆

虚位移原理

◆

Hamilton原理

◆

Lagrange方程54/452.2

基本力学原理与运动方程的建立运动方程：描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系的数学表达式。(有时也称为动力方程)运动方程是进行结构动力分析的基础运动方程的建立是结构动力学的重点和难点本章首先通过对简单结构体系(单自由度体系)的讨论介绍结构动力分析中存在的基本物理量及建立运动方程的方法，然后介绍更复杂的多自由度体系运动方程的建立。

55/45基本动力体系：

应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。

质量；弹簧；阻尼器。单自由度体系：

SDOF(Single-Degree-of-Freedom)System

结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定

56/45基本动力体系两个典型的单自由度体系

(a)

弹簧－质点体系

(b)单层框架结构

物理元件：

质量集中质量m

阻尼器阻尼系数c

弹簧弹簧刚度k两个力学模型完全等效，因为两个体系的运动方程相同。

57/452.2基本力学原理与运动方程的建立2.2.0

牛顿(Newton)第二定律——单质点体系运动时要满足的控制方程—运动方程单质点体系的受力分析：58/452.2基本力学原理与运动方程的建立利用牛顿第二定律的优点：牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用

以人们最容易接受的力学知识建立体系的运动方程

59/452.2基本力学原理与运动方程的建立2.2.1

D’Alembert原理（达朗伯原理）D’Alembert原理：在体系运动的任一瞬时，如果除了实际作用结构的主动力(包括阻尼力)和约束反力外，再加上(假想的)惯性力，则在该时刻体系将处于假想的平衡状态(动力平衡)。

单质点体系的受力分析

60/452.2基本力学原理与运动方程的建立2.2.1

D’Alembert原理─直接动力平衡法D’Alembert原理的贡献：建立了动力平衡(简称：动平衡)的概念。D’Alembert原理的优点：静力问题是人们所熟悉的，有了D’Alembert原理之后，形式上动力问题就变成了静力问题，静力问题中用来建立控制方程的方法，都可以用于建立动力问题的平衡方程，使对动力问题的思考有一定的简化。对很多问题，D’Alembert原理是用于建立运动方程的最直接、最简便的方法。61/452.2运动方程的建立

[可能位移；实位移；虚位移]

2.2.2

虚位移原理虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。设体系发生一个虚位移

u，则平衡力系在

u上做的总虚功为:

单质点体系的受力分析

u

u62/452.2.2虚位移原理虚位移原理的优点：

虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采用的矢量运算更简便。对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些

63/452.2基本力学原理与运动方程的建立2.2.3

Hamilton原理（哈密顿原理）可以应用变分法(原理)建立结构体系的运动方程。

在数学上，变分问题就是求泛函的极值问题。在这里，泛函就是结构体系中的能量(功)。变分法是求体系能量(功)的极值。

体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值,一般是极小值。

Hamilton原理是动力学中的变分法(原理)。64/452.2.3Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)

Hamilton原理：在任意时间区段[t1,t2]内，体系的动能和位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。

T—体系的总动能；V—体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；Wnc—作用于体系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)所做的功；

—在指定时间段内所取的变分。

对于静力问题:

(V-Wnc)=0

—最小势能原理。65/452.2.3Hamilton原理

Hamilton原理的优点：

不明显使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲，仅涉及处理纯的标量，即能量。而在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。动能：集中质量转动质量位能：拉伸弹簧转动弹簧多自由度体系：动能位能66/45用Hamilton原理建立体系的运动方程体系的动能：

位能(弹簧应变能)：因此能量的变分：非保守所做的功的变分(等于非保守力在位移变分上作的功)

将以上两式代入Hamilton原理的变分公式，得：对上式中的第一项进行分部积分67/452.2基本力学原理与运动方程的建立2.2.4

Lagrange方程(拉格朗日方程)Hamilton原理是一种积分形式的动力问题的变分方法，实际还有另外与之等价的微分形式的动力问题的变分原理，就是运动的Lagrange方程，其表达式如下：

其中：

T——体系的动能；

V——体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；

Pncj——与uj相应的非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)。68/452.2运动方程的建立用Hamilton原理推导Lagrange方程

69/452.2运动方程的建立用Hamilton原理推导Lagrange方程

70/452.2基本力学原理与运动方程的建立2.2.4运动的Lagrange方程

用Lagrange方程方程建立体系的运动方程体系的动能：

位能：非保守力：因此，代入Lagrange方程：再一次得到体系的运动方程：71/45五种建立运动方程的方法的特点牛顿第二定律： 是基于物理学中已有知识的直接应用，有助于理解和接受D’Alembert原理。D’Alembert原理： 是一种简单、直观的建立运动方程的方法，得到广泛的应用。D’Alembert原理建立了动平衡的概念，使得在结构静力分析中的一些方法可以直接推广到动力问题。当结构具有分布质量和弹性时，直接应用D’Alembert原理，用动力平衡的方法来建立体系的运动方程可能是困难的。虚位移原理： 部分避免了矢量运算，在获得体系虚功后，可以采用标量运算建立体系的运动方程，简化了运算。72/45五种建立运动方程的方法的特点Hamilton原理：

是一种建立运动方程的能量方法(积分形式的变分原理)，如果不考虑非保守力作的功(主要是阻尼力)，它是完全的标量运算，但实际上直接采用Hamilton原理建立运动方程并不多。Hamilton原理的美妙在于它以一个极为简洁的表达式概括了复杂的力学问题。Lagrange方程：

得到更多的应用，它和Hamilton原理一样，除非保守力(阻尼力)外，是一个完全的标量分析方法，不必直接分析惯性力和保守力(主要是弹性恢复力)，而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象。73/452.2基本力学原理与运动方程的建立五种建立运动方程的方法的特点74/452.2基本力学原理与运动方程的建立单自由度体系的运动方程单自由度系统运动方程反映了结构动力学中将遇到的几乎所有的物理量(1)质量m,和惯性力：(2)阻尼c,和阻尼力：(3)刚度k,和弹性恢复力：对于多自由度体系：

75/45例题

如下图所示体系,

分析体系的静力自由度和动力自由度，

利用D’Alembert原理建立体系的运动方程。76/45例题

[解]：1、体系的自由度静力自由度：确定体系几何位置所需要的独立参数(广义坐标)的数目。动力自由度：动力分析中为确定体系任一时刻全部质量的几何位置所需要的独立参数(广义坐标)的数目。

根据结构静力自由度的定义，图中所示体系的静力自由度有2个，可选两刚杆的杆端位移u和u1为广义坐标。根据结构动力自由度的定义，体系的动力自由度仅有1个，因为当广义坐标u(t)确定后，体系质量的几何位置就完全确定。

可见，结构体系的动力自由度和静力自由的数目有时是不同的。77/45例题

[解]：2、建立体系的运动方程首先对体系取隔离体进行分析78/45例题

[解]：2、建立运动方程根据D’Alembert原理，施加惯性力后，体系处于动平衡状态。下方刚杆对支撑点O取矩：上方刚杆对支撑点O1取矩：

79/45例题

[解]：2、建立运动方程获得两个平衡方程：（1）

（2）由式（2）可得：

（3）

式（3）代入式（1）得体系的运动方程：

静力凝聚法80/45例题的启示：

算例表明，结构的动力自由度少于静力自由度。

虽然这是一个简单的例题，但这一规律一般是成立的。算例一定程度上揭示了结构动力自由度定义的内在含义或目的。 在以后的各章中将陆续给出结构体系动力反应分析的方法和算例，可以发现，结构的动力反应分析远比静力分析复杂并且需花费更多的时间，减少动力分析中的待求参数，即降低模型的自由度，对进行有效的结构动力反应分析是十分重要的。81/45作业题：

2.12.22.3结构动力学思考题之一

1 结构动力学与静力学的主要区别是什么？结构的运动方程有什么不同？

2 什么是动力自由度？什么是静力自由度？区分动力自由度和静力自由度的意义是什么？3 采用集中质量法、广义坐标法和有限元法都可以使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们所采用的手法有什么不同？

4 在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些？5 在建立结构运动方程时，如考虑重力的影响，动位移的运动方程有无改变？结构动力学思考题一与Lagrenge方程相关的问题在推导Lagrenge方程时，给出了以下几个基本表达式：

———(1)

——————(2)

———————————(3)问题：

式(1)中为什么显含时间t？

式(2)中是否应显含时间t？

难道广义坐标及速度完全确定后，体系的动能还与时间t有关系？

势能V中是否应显含时间t？

为什么在变分运算时，不对显含的时间t进行运算？

若式(2)、(3)中显含时间t，对Lagrange方程的推导是否有影响？结构动力学作业一

2.1建立题2.1图所示的三个弹簧－质量系统的运动方程（要求从刚度的基本定义出发确定系统的等效刚度）。

题2.1图结构动力学作业一

2.2建立题2.2图所示梁框架结构的水平运动方程（集中质量位于梁中，框架分布质量和阻尼忽略不计）。题2.2图结构动力学作业一

2.3试建立题2.3图所示体系的运动方程，给出体系的广义质量M、广义刚度K、广义阻尼C和广义荷载P(t)，其中位移坐标u(t)的定义见题2.3图。

题2.3图u(t)结构动力学作业答案（第一次作业）

结构动力学作业题2.1建立题2.1图所示的三个弹簧－质量系统的运动方程（要求从刚度的基本定义出发确定系统的等效刚度）。

题2.1图结构动力学作业题2.1答案

结构动力学作业题2.2

建立题2.2图所示梁框架结构的水平运动方程（集中质量位于梁中，框架分布质量和阻尼忽略不计）。题2.2图结构动力学作业题2.2答案结构动力学作业题2.3试建立题2.3图所示体系的运动方程，给出体系的广义质量M、广义刚度K、广义阻尼C和广义荷载P(t)，其中位移坐标u(t)的定义见题2.3图。

题2.3图u(t)结构动力学作业题2.3答案u(t)叠加原理叠加原理的一种文字描述：几种不同原因(作用)的综合所产生的效果(效应)，等于这些不同原因(作用)单独产生效果(效应)的累加。例如，几个外力作用于一个物体上所产生的运动，等于各个外力单独作用在该物体上所产生的运动的总和。叠加原理的一种数学描述：设：x=x1+x2+···+xN若：y=f(x)而：y1=f(x1)y2=f(x2)

···yN=f(xN)如果：y=y1+y2+···+yN则谓满足叠加原理。其中：x1,x2,···,xN和x分别为原因(作用)和原因(作用)的综合；y1,y2,···,yN和y分别为单独原因产生的效果(效应)和综合原因产生的效果(效应)。95/79结构动力学教师：刘晶波聂鑫清华大学土木工程系2021年秋96/79结构动力学第

2章

分析动力学基础与运动方程的建立97/79本次课主要内容：

重力的影响

地基运动的影响

多自由度体系运动方程的建立—直接平衡法

多自由度体系的Lagrange运动方程

算例2.2~算例2.4

多自由度体系问题的自由度缩减

运动约束法；静力凝聚法；混合方法。98/79第2章分析动力学基础及运动方程的建立2.3

重力的影响

99/792.3

重力的影响

Δst—重力W=mg作用下体系的静位移静平衡位置：受动力作用以前结构所处的实际位置。u(t)—动力P(t)作用下体系的动位移(相对于静平衡位置)100/792.3

重力的影响

惯性力、阻尼力和弹性恢复力分别为：

外荷载为：应用D’Alembert原理：101/792.3

重力的影响

考虑重力影响时，结构体系的运动方程与无重力影响时的运动方程完全一样，此时u(t)是由动荷载引起的动力反应。 可见在研究结构的动力反应时，可以完全不考虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接求解动力荷载作用下的运动方程，即得到结构体系的动力解。当需要考虑重力影响时，结构的总反应(位移/内力)为总反应(效应)=静力解+动力解

即可以应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相加即得到结构的总体反应。 在结构反应问题中，应用叠加原理可将静力问题(一般是重力问题)和动力问题分开计算。?102/792.3

重力的影响

并不是对任何结构动、静力反应问题都可以这样处理，因为在以上推导中，假设弹簧的刚度k为常数，即结构是线弹性的，因此只有对线弹性结构才可以使用叠加原理，将静力、动力问题分开考虑。

如果是二维或三维问题，还要进一步加上小变形(位移)的限制，避免出现几何非线性。

此外，对于运动非线性问题，叠加原理往往也不成立。对于非线性(物理非线性、几何非线性或运动非线性)问题的结构动力反应问题计算，需要采用额外的方法进行处理。103/792.3

重力的影响

应当特别注意的是：在以上推导过程中，假设悬挂的弹簧-质点体系只发生竖向振动，在动荷载作用之前，重力被弹簧的弹性变形所平衡，而施加荷载后，重力始终被弹性变形所平衡。如果重力的影响没有预先被平衡或发生了变化(产生了新的作用)，则在施加动力荷载产生进一步变形后，可以产生二阶影响问题。 例如P-Δ效应。 最简单的例子是(倒立)摆，当摆产生水平振动后，摆的重力引起的附加弯矩是一个新的量，它并没有预先被平衡(且随摆角变化)，将对体系的动力反应产生影响，这种影响必然反映到结构的运动方程中。

出现新的力或新的作用(由重力导致的)104/79第2章分析动力学基础及运动方程的建立2.4

地基运动的影响

105/792.4

地基运动的影响

地基运动问题：结构的动力反应不是由直接作用到结构上的动力引起的，而是由于结构基础的运动引起的。

ug—地基位移，是已知的；u—相对位移，反映结构变形；ut

=u+ug—绝对位移(或称总位移)。106/792.4地基运动的影响

惯性力：阻尼力：弹性恢复力：外荷载：0

应用D’Alembert原理：107/792.4地基运动的影响

eff—effective相对运动方程

绝对运动方程

108/79重力和地基运动的影响

以上结合单自由度结构体系给出了不同影响因素下结构运动方程的建立方法，虽然例题极为简单，但包含了最基本的概念和原理。实际问题会涉及到更复杂的结构体系，例如结构构造复杂、自由度多，包含连续分布的质量，地震多方向(多维)和多点(在结构不同的支承处的地面运动不一致)输入等等，但灵活应用本章介绍的方法都可以得到解决。

109/79建立多自由度体系运动方程的方法☀ 牛顿第二定律；直接平衡法(D’Alember原理)；虚位移原理；Hamilton原理；运动的Lagrange方程。☀ 基于矩阵位移法的直接平衡方法和基于变分原理的Lagrange方程方法应用更广泛一些。① 直接平衡方法应用动平衡的概念以矩阵的形式建立多自由度体系的运动方程，概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进而建立体系的运动方程，便于计算机编程。② 而对于一些特殊的问题，例如，大变形(位移)问题，运动的Lagrange方程可能更有效。且具有唯一性。110/79第2章分析动力学基础及运动方程的建立2.5

多自由度体系运动方程的建立

—直接平衡法111/792.5

多自由度体系运动方程的建立—直接平衡法

在这一节中将主要介绍建立多自由度体系运动方程的直接平衡法的基本概念和实施技术。

将直接给出一些构件单元，例如梁单元的刚度阵和质量阵。我们可以直接应用这些矩阵建立运动方程，最主要的是知道这些矩阵中每一个元素的物理意义。

本节不详细介绍有关单元矩阵的建立方法，而单元刚度阵、质量阵和阻尼阵的建立将在后面的有限元法和具有分布参数体系分析方法中逐步得到学习。112/792.5多自由度体系运动方程的建立：直接平衡法假设一N层层间结构，自由度为N，各楼层集中质量mi，外荷载pi,层间刚度ki,各层的水平运动为ui,i=1,…,N。这个层间模型也可以转化成串连的弹簧—质点模型。113/792.5直接平衡法应用D’Alember原理：fIi—惯性力；fDi—阻尼力；fsi—弹性恢复力；pi—外力。共有N个方程。也可以写成矩阵形式：114/792.5直接平衡法弹性恢复力fsi可以用结构的刚度来表示，其一般表达式为：

系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数，物理意义是：kij—由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力

即j自由度给定一个单位位移，而其余自由度都不动时，i自由度所需要的力(反力)。

115/792.5直接平衡法弹性恢复力：

对体系的弹性恢复力的全体可以写成矩阵的形式：{fs}称为弹性恢复力向量；[k]称为刚度矩阵；{u}称为位移向量。116/792.5直接平衡法对于三层结构，刚度矩阵为：117/792.5直接平衡法多自由度体系惯性力的一般表达形式为：

系数mij为质量影响系数，简称质量系数或质量，它的含义是：

mij—由j自由度的单位加速度引起的相应于i自由度的力

即给定j自由度一个单位加速度，产生了惯性力，其余自由度加速度为零时，i自由度所需要的力。有时也将质量影响系数称为惯性影响系数。118/792.5直接平衡法惯性力也可以用矩阵的形式表达：

{fI}称为惯性力向量，{M}称为质量矩阵，{ü}为加速度向量。119/792.5直接平衡法对于三层结构，忽略柱的质量，体系的质量矩阵为：120/792.5直接平衡法如果柱的质量不能忽略(即需要考虑介质质量连续分布情况时)，则[M]的非对角线元素将不恒为零。柱引起的质量系数的物理含义可见下图，其中为柱的质量线密度。

121/792.5直接平衡法若采用粘性阻尼假设，采用与弹性恢复力相似的方法也可以建立如下阻尼力向量的计算公式：其中{fD}称为阻尼力向量，[C]称为阻尼矩阵；为速度向量。122/792.5直接平衡法系数cij称为阻尼影响系数，简称阻尼系数。cij的物理意义：

cij—由j自由度的单位速度引起的相应于i自由度的力

结构阻尼矩阵的计算很难，一般都给予一定的假设，例如与刚度阵或质量阵成正比等。

?123/792.5直接平衡法外荷载向量可写成：其中pi(t)为作用于第i自由度的外荷载。

124/792.5直接平衡法根据式：结构体系的运动方程可以用矩阵的形式表示为：[M]—质量矩阵；[C]—阻尼矩阵；[K]—刚度矩阵；{p(t)}—外荷载向量。125/792.5直接平衡法如果进一步考虑轴力的影响，例如由结构自重的存在引起的附加(弯矩)二阶力，这些附加荷载也可以用矩阵形式表达：

其[kG]称为几何刚度矩阵，其中的任一个元素kGij的物理意义如下：

kGij—由第j个自由度单位位移和结构中轴力共同引起的i自由度的附加力

126/792.5直接平衡法下面用一个简单的例子说明几何刚度的求法。

kGjj和kGij可根据力的平衡条件确定，分别对柱的i点和j点取矩，可以得到同理可以得到：则柱单元的几何刚度为：由单元的几何刚度可以组装成结构体系的总体几何刚度阵。

127/792.5直接平衡法当考虑轴力影响(P-Δ效应)时，运动方程可写为：上式也常表示成如下形式：以上给出了一般情况下多自由度结构体系的运动方程的矩阵表达形式，建立这一矩阵方程的关键是建立体系的刚度、质量和阻尼矩阵。128/792.5直接平衡法体系的总体刚度[K]可由单元刚度阵[K]e总装得到；同理质量矩阵[M]也可由单元质量阵[M]e总装得到。下面不加推导地给出与横向线位移和转角自由度相应的梁单元的刚度和质量矩阵。下图给出了梁单元及其自由度，即梁端横向位移和转角。梁端位移向量定义如下，其中，l为梁长、EI为梁截面的抗弯刚度、为梁的质量线密度；下标e代表单元。

129/792.5直接平衡法梁单元的刚度矩阵：集中质量矩阵：Lumped-mass一致质量矩阵：Consistent-mass

130/79第2章分析动力学基础及运动方程的建立2.6

多自由度体系的

Lagrange运动方程131/792.6

多自由度体系的Lagrange运动方程

Lagrange运动方程，对那些不易直接用动平衡方法建立运动方程的问题有时是特别有效的，特别是当结构动力分析时采用了不易直观判断的广义坐标时更是如此。例如，用幂级数展开烟囱或等效高层结构的横向位移

式中qi(t)(i=2,…,N+1)为广义坐标，直接采用动平衡分析方法很难建立关于广义坐标qi(t)的运动方程。这时可以采用Lagrange运动方程。132/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程Lagrange运动方程可由Hamilton原理推出，Hamilton原理可表示为：

T—体系的总动能；V—体系的位能，包括应变能及任何保守外力的势能；Wnc—作用在体系上的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功；

—指在指定时间段[t1，t2]内所取的变分。133/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程

一般情况下，体系的动能、势能及非保守力功的变分可表示如下形式:q1,q2,…,qN为广义坐标，Q1

,Q2,…,QN为非保守力，例如外力、阻尼力等。将T,V,

Wnc代入Hamilton原理，对动能项采用分部积分，再利用变分任意性，可得到Lagrange运动方程。134/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程下面以弯曲长梁为例，简要说明用有限个广义坐标(有限个自由度)近似无限自由度体系，采用用Lagrange运动方程方法来建立体系的运动方程。弯曲梁模型如图所示，材料的弹性模量E(x)，截面惯性矩I(x)，质量线密度m(x)，分布外荷载p(x,t)。

135/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程采用有限个广义坐标，近似梁的变形（位移）其中qi（i=1,2,…N）为广义坐标，

i(x)(i=1,2,…,N)是形函数，满足边界条件。结构的动能：(忽略转动惯量)

弯曲应变能：136/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程为得到非保守力Q1，Q2…QN，可以通过讨论非保守力的虚功

Wnc来确定。非保守力的虚功包括非保守内力(由材料阻尼引起)的虚功和外力的虚功，下面分别讨论。非保守内力的虚功是由于材料的粘性引起的，下面分析一下其表达式。当考虑材料的阻尼时，材料的应力应变关系为

(t)—应力;

(t)—应变;E—弹性模量;cs—粘性阻尼系数。根据应力—应变关系，可以得到内力—位移关系，对梁是弯矩—曲率关系，137/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程第一项是保守力，将产生弯曲应变能，在前面已计算，后一项是由材料粘性引起的非保守力，它在任一个曲率变分（即位移变分引起的曲率）上做的虚功为138/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程而外力的虚功为：则非保守内力为：139/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程将T、V、Qi代入Lagrange方程，得到体系的运动方程：140/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程运动方程也可以写成矩阵的形式:

其中，

141/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程如果广义坐标是离散节点的位移，即qi=ui，则用Lagrange法给出的方程与前面用直接平衡法给出的矩阵运动方程完全一样。从质量阵、阻尼阵和刚度阵的计算公式可以发现，各矩阵中的元素满足：mij=mji，cij=cji，kij=kji，即矩阵是对称的。当我们以后讲到有限元方法时，可以发现，它们的计算公式基本相同，即运动方程中当结构几何尺寸和材料性质给定时，不同矩阵的确定仅与形函数

i(x)有关，一旦选定了形函数，则结构体系的质量、刚度和阻尼元素就可以获得。等效的外荷载pi(t)也根据形函数定。142/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程

只要能用广义坐标给出体系总动能T和位能V的表达式，以及确定相应于每一广义坐标的非保守力Qi，就可以直接由Lagrange运动方程建立结构体系的运动控制方程。下面通过算例来介绍如何应用Lagrange方程，从算例中可以看到，用Lagrange运动方程建立的运动方程不限于线性问题。143/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程

算例2.2

如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆的质量分别为m1和m2，忽略杆的分布质量，采用Lagrange方程建立体系无阻尼自由运动方程。广义坐标q1和q2取为杆1和杆2的转角。为方便计算体系的动能，也给出了直角坐标系，在直角坐标系中更容易建立体系的势能和动能公式。144/792.6Lagrange运动方程

算例2.2直角坐标x、y和广义坐标q1、q2的关系及其速度之间的关系如下：145/792.6Lagrange运动方程

算例2.2

体系的动能T：设q1=q2=0时是0势能位置，则势能(位能)V：146/792.6Lagrange运动方程

算例2.2取Lagrange方程中的i=1,2，得到，

假设非保守力，即阻尼力和外力都为零，则Q1=Q2=0，将T和V代入Lagrange方程得复合摆的运动方程：可以发现以上运动方程公式是高度非线性的。147/792.6Lagrange运动方程

算例2.2复合摆的大摆角运动方程：当微幅振荡时，q1、q2很小，忽略高阶小量，运动方程可化为：这是一线性方程组，可见只有当微幅摆动时，复合摆的运动方程才成为线性的。当m2=0时，得到单摆的运动方程:148/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程

算例2.3

如图所示，一无质量悬臂梁的一端连接一刚性块体，刚块的总质量为m，刚块上面作用均匀分布的外力

p0f(t),取刚块两端的位移q1、q2为广义坐标，建立体系的运动方程。149/792.6Lagrange运动方程

算例2.3体系的动能T：位能V：外力(非保守力)的虚功：由此可得非保守力：150/792.6Lagrange运动方程

算例2.3151/792.6Lagrange运动方程

算例2.3152/792.6多自由度体系的Lagrange运动方程

算例2.4

如图所示二自由度的串联弹簧—质点体系，用Lagrange法建立体系的运动方程。体系的动能：位能：非保守力：153/792.6Lagrange运动方程

算例2.4

参照Lagrange方程，令：q1=u1，q2=u2

(1)：i=1时(2)：i=2时154/79算例2.4

体系的总体运动方程为：矩阵形式的运动方程为：155/79算例2.4

(1)如果m1=0，由式（a）解得：代入式（b）得：(2)如果p2(t)=0，则：(3)如果p1(t)=p2(t)=0，则：156/79算例2.4

(3)如果p1(t)=p2(t)=0，则：分析算例2.4可以获得以下启发：① 用Lagrange方程得到的方程与第1次作业的结果一样。157/79算例2.4

(1)如果m1=0，由式（a）解得：代入式（b）得：② 动力自由度的概念、用处及与静力自由度的区别。③ 静力凝聚的概念，是应用静力凝聚法的具体实现。158/79算例2.4

(2)如果m1=0，p2(t)=0，则：④ 在结构动力分析中，外荷载可以作用在结构的任何位置，而不必须作用在动力自由度之上。当外荷载不直接作用在动力自由度之上时，荷载的影响将通过结构的弹性传递，影响到动力自由度的运动方程。159/79算例2.4

(1)如果m1=0，由式（a）解得：代入式（b）得：⑤ 在获得了动力自由度的运动后，结构静力自由度的运动可由动力自由度的结果求得，计算中，还要考虑直接施加到静力自由度之上外荷载的影响。160/79第2章分析动力学基础及运动方程的建立2.7

多自由度体系问题的自由度缩减161/792.7

多自由度体系问题的自由度缩减

目前已提出多种用于体系自由度缩减的方法，下面简要介绍其中三种方法，（1）运动约束法；（2）静力凝聚法；（3）混合方法。

静力凝聚法从理论上看是完备的，通过把静力自由度凝聚掉，以利于动力计算；

运动约束法主要基于对结构反应规律的经验总结和把握，减少动力自由度数目，提高动力计算的效率。162/792.7多自由度体系问题的自由度缩减1、运动约束法运动约束法是结构动力分析中最常用的处理方法，通过对结构的运动作出一定的假设，即施加人为的约束，可以实现缩减自由度的目的。 例如对于框架结构，由于楼板板内刚度的影响，使结构楼层板内的相对变形远小于板外变形，这时往往采用刚性楼板假设，认为楼层在板内的变形为零，楼板在板内只发生刚体运动，每层楼板的板内自由度只有三个(两个平动加一转动)。这是典型的运动约束法。另外的一些运动约束法，例如，主从结点法等(采用主从结点法的目的有时是为了近似模拟某种物理约束条件，而不一定是为缩减自由度)，在结构的计算分析中也常常采用。163/792.7多自由度体系问题的自由度缩减2、静力凝聚法目前在进行结构设计时，如结构抗震设计，结构静力分析模型与动力分析模型常常采用同一个离散化模型，此时结构的总自由度即是静力自由度，既包括动力自由度、也包括了那些非动力自由度的静力自由度。即使有时为节省动力分析工作量而采用了相对简化的动力分析模型，当多自由度体系的动力自由度不能充分确定体系的几何位置时，初始建立的运动方程组中也一定含有非动力自由度的静力自由度。因此，一般情况下，初始建立的多自由度结构体系的总自由度实际上就是静力自由度。164/792.7多自由度体系问题的自由度缩减2、静力凝聚法很多情况下，结构的静力自由度数目大于动力自由度。例如，在框架结构模型中，与节点平动质量相比，转动质量是相对小量，常常忽略与转角相关的转动质量。这时对于一个三维的框架结构，静力自由度(每个节点有三个平动和三个转动)是动力自由度(每节点三个平动自由度)的两倍。在进行动力分析之前，可以采用静力凝聚将与动力自由度无关的自由度消去，这将有效缩减结构体系的自由度数目，提高动力分析的计算效率和降低计算量。165/79静力凝聚法当采用集中质量阵，而结构体系的自由度又存在转角时，转动自由度的惯性力为0，此时可以采用静力凝聚法，消去无质量的自由度。若平动和转动自由度分别用下标t和θ区分，则采用集中质量方法时，存在转角自由度体系的运动方程可写为如下形式：166/79静力凝聚法将以上矩阵方程展开：167/79静力凝聚法由第二个方程组可解得：代入第一个方程组得：新的运动方程仅包括平动自由度而无转动自由度。168/79静力凝聚法静力凝聚法和动力自由度的定义相互呼应。当体系的某一自由度无质量时，与其相应的惯性力为0，根据动力自由度的定义，这些自由度不属于动力自由度，在体系动力分析中可以不考虑(使之不出现)，而静力凝聚法正是将此目标实现，使得体系的运动方程中仅存在动力自由度项。169/792.7多自由度体系问题的自由度缩减3、混合方法混合方法即是同时采用两种或两种以上处理方法，以达到减少结构的自由度。例如，可以同时使用运动约束法和静力凝聚法。实际问题处理中往往是采用混合方法来进一步缩减体系自由度。170/792.7多自由度体系问题的自由度缩减3、混合方法以集中质量的三维框架结构模型为例假设结构共有n层，每层有m个节点，则结构共有3mn+3mn个自由度。如果仅采用前述的运动约束法，则只约束了楼板的板内自由度

动力自由度数=3mn+3n如果仅采用静力凝聚法，则只凝聚了所有的转角自由度

动力自由度数=3mn可见仅常用一种方法进行体系自由度的缩减，体系计算模型的自由度仍然较大。171/792.7多自由度体系问题的自由度缩减3、混合方法若同时采用运动约束法和静力凝聚法进行体系自由度的缩减，则模型的

动力自由度数=1mn+3n此时模型的动力自由度包括各节点的竖向位移自由度和各楼层板内的三个刚体位移自由度。在结构地震反应计算中，常认为结构地震反应以水平位移为主，与竖向位移相关的惯性力的影响可以忽略，则竖向自由度均为静力自由度，可采用静力凝聚法将其消去。这时模型的动力自由度数=3n，但反映了楼板板外实际刚度和结构地震反应特点，保证了结构构件变形和内力计算的合理性。172/792.7多自由度体系问题的自由度缩减进行自由度缩减的理由：自由度的缩减可以有效提高体系动力计算效率和减少计算量。以所需工作量较大的静力凝聚法为例，进行静力凝聚所需的工作量约为总自由度的2次方，而动力计算的工作量约为自由度的3次方。对于一般三维框架结构问题：采用静力凝聚法时结构分析总的计算工作量为：N

2＋(N/2)3；不采用时结构分析总的计算工作量为：N

3。前者是后者的1/8+1/N。可见若自由度N≥100，则前者完成结构动力反应分析所需总的计算工作量约为后者的1/8。＃实际节省的量值和采用的动力分析方法也有关系。173/79作业题：

2.42.5结构动力学思考题之二1刚度系数kij和质量系数mij的直接物理意义是什么？如何直接用mij的物理概念建立梁单元的质量矩阵[M]？

2 如何用刚度矩阵和质量矩阵，以矩阵的形式表示多自由度体系的位能(势能)和动能？3建立多自由度体系运动方程的直接动力平衡法和Lagrange方程的优缺点是什么？

4什么是几何刚度，几何刚度主要与什么量有关，几何刚度对结构动力特性有什么影响？

5什么是结构动力问题分析中的静力凝聚法？动力自由度的概念是什么？静力凝聚法在结构动力问题分析中可起什么作用？

174结构动力学思考题之二6

对于单自由度体系，体系的位能V和动能T分别为： 试证明多自由度体系的位能和动能分别为： 其中，kij和mij分别为多自由度体系的刚度系数和质量系数；N为体系的自由度数目。(思考题2的证明过程)7

如何充分论证，当多自由度体系的动力自由度不能充分确定体系的几何位置时，初始建立的运动方程组中一定含有非动力自由度的静力自由度？

175问题清华大学土木工程系结构动力学的发件人：倪国泉[bono5137@163.com]发件时间：2012年9月16日星期日20:32收件人：

liujb@主题：结构动力学第一堂课的一点问题刘老师你好，周末回顾了一下您上的结构动力学，有几点疑惑希望您能帮忙解答：

1.离散化方法中的有限元法，各分片域上位移插值函数直接相加是否属于叠加原理？结构非线性是否对这个方法有影响？2.变分法中，有函数两端变分为零的边界条件，这一条件从何而来？教材上讲的是固定边界条件下的泛函极值问题，学生不是很理解3.在用Hamilton原理推导Lagrange方程的过程中，认为对于N个自由度的结构体系，体系的动能为各质量点位移和速度的函数。老师能否给我举个例子什么情况下质量点的