通信原理（第3版）课件9.4 线性分组码

线性分组码§9.4赵小燕

输入消息序列A (n,k)输出码字c

A=(ak-1,…,a1,a0)

分组编码器

c=(cn-1,…,c1,c0)

qk<qn输出码字长度输入信息序列长度1、线性分组码编码原理分组码：将信息流切割为k

位一组的独立块，编成由n

位组成的码元；若信息位和监督位满足线性约束关系，则称为线性分组码。线性分组码具有如下性质：（1）线性分组码具有封闭性，即线性分组码中任意两个码元的模2运算仍属于该码组；（2）全零码必属于线性分组码；（3）线性分组码中各码元之间的最小码距等于该码组的最小码重。1、线性分组码编码原理设（7,3）线性分组码为将信息流分成每3位为一组构成原码，即信息位监督位按下列线性方程进行编码：A：原码C：生成的线性分组码G：生成矩阵。

输入消息序列A (n,k)输出码字c

A=(ak-1,…,a1,a0)

分组编码器

c=(cn-1,…,c1,c0)

qk<qn

1×n1×k

k×n

码字消息生成矩阵

C＝AG输出码字长度输入信息序列长度n位线性分组码由k位信息位与生成矩阵线性运算得到。1、线性分组码编码原理

输入消息序列A (n,k)输出码字c

A=(ak-1,…,a1,a0)

分组编码器

c=(cn-1,…,c1,c0)

qk<qn输出码字长度输入信息序列长度1、线性分组码编码原理典型生成矩阵：C＝AGIk是k×k单位阵，用于把信息组A原封不动搬到码字的前k位Q是k×(n-k)矩阵，用于通过产生n-k位冗余位或一致校验位。由典型生成矩阵所获得的线性分组码又称为

系统码

输入消息序列A (n,k)输出码字c

A=(ak-1,…,a1,a0)

分组编码器

c=(cn-1,…,c1,c0)

qk<qn输出码字长度输入信息序列长度1、线性分组码编码原理线性分组码的每个码元都是生成矩阵G各行向量的线性组合。生成矩阵G的各行向量线性无关。生成矩阵G的每一行向量都是线性分组码中的一个码元。如果生成矩阵G不具备典型矩阵的形式，则生成的线性分组码称为非系统码。可以通过初等行列变换将生成矩阵变换成典型矩阵。系统码和非系统码具有相同的纠错检错能力，只是原码与线性分组码的映射关系不同。C＝AG1、线性分组码编码原理监督位与信息位的关系：H：监督矩阵典型监督矩阵：Ir是r阶单位矩阵P是(n-k)

×k矩阵矩阵Q与的P关系：典型生成矩阵：或1、线性分组码编码原理典型监督矩阵：Ir是r阶单位矩阵P是(n-k)

×k矩阵生成矩阵与监督矩阵的关系：典型生成矩阵：或1、线性分组码编码原理监督矩阵H的性质：监督矩阵H中的每一个行向量与线性分组码中的任一码元的内积为0；监督矩阵H中的每一个行向量都线性无关；若，说明码元C属于线性分组码集，否则，不属于；一个（n,k）线性分组码，若要纠正小于等于t个错误，则其充要条件是H矩阵中任何2t列线性无关。1、线性分组码编码原理一个（6,3）线性分组码，其生成矩阵（1）计算码集，列出原码与线性分组码的映射；（2）系统化后计算码集，列出原码与线性分组码的映射;（3）计算监督矩阵H，若接收码元为

，检验是否属于该码集。【解】

（1）因为原码为3位，取值为

原码

线性分组码（非系统码） 000 000000 001 011101 010 110001 011 101100 100 111010 101 100111 110 001011 111 0101101、线性分组码编码原理例（2）用初等行变换将生成矩阵G系统化为典型生成矩阵：

原码

线性分组码（系统码） 000 000000 001 001011 010 010110 011 011101 100 100111 101 101100 110 110001 111 111010计算得到系统码：1、线性分组码编码原理（3）因为典型生成矩阵得到典型监督矩阵：所以B不属于该码集1、线性分组码编码原理2、线性分组码译码原理接收码元：差错图样：若无错误，若有错误，2、线性分组码译码原理伴随式或校验子:校验子的取值只取决于差错图样，与编码无关。由方程组，计算得到差错图样值最终译码:2、线性分组码译码原理伴随式或校验子:校验子的取值只取决于差错图样，与编码无关。由方程组，计算得到差错图样值E最终译码:不唯一选择码重最小的差错图样3、汉明码汉明码不是指一个码，而是代表一类码。汉明码的纠错能力t=1，既有二进制的，也有非二进制的。二进制时，汉明码码长n和信息位k服从以下规律：

(n,k)=(2m-1,2m-1