高中物理选修2步步高同步讲义 第一章 专题强化3 带电粒子在有界匀强磁场中的运动

专题强化3带电粒子在有界匀强

磁场中的运动第一章安培力与洛伦兹力【学习目标】1.知道带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律.2.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动.3.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题.4.了解多解成因，会分析带电粒子在匀强磁场中运动的多解

问题.【内容索引】探究重点提升素养随堂演练逐点落实专题强化练TANJIUZHONGDIAN

TISHENGSUYANG探究重点提升素养1一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动1.直线边界从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图1所示.图12.平行边界(如图2)图23.圆形边界(1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图3甲所示.(2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，射入速度与半径方向的夹角为θ，射出速度与半径的夹角也为θ，如图乙所示.图3考向1直线边界的磁场图4例1

如图4所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子1在纸面内以速度v1＝v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α＝30°；质量为m、电荷量为＋q的粒子2在纸面内以速度v2＝

v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β＝60°.已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用.求：(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B间的距离d；解析两粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt.考向2圆形边界的磁场例2

在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图5所示.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出.图5(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′的大小；此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解.(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长.(3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长.例3

如图6所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边图6界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是√解析由题意可知，电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，即运动轨迹与EF相切，如图所示.由几何知识得：例4

(2020·全国卷Ⅲ)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图7所示.一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为图7√三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题.(1)找出多解的原因.(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况.考向1磁场方向不确定形成多解例5

(多选)如图8所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计.为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场.已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为

，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是图8√√考向2临界状态不唯一形成多解例6

(多选)如图9所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电.现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是图9√√返回SUITANGYANLIAN

ZHUDIANLUOSHI随堂演练逐点落实21.(直线边界的磁场)(多选)(2020·甘肃武威第六中学高三月考)如图10所示，两相邻且范围足够大的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度方向平行、大小分别为B和2B.一带正电粒子(不计重力)以速度v从磁场分界线MN上某处射入磁场区域Ⅰ，其速度方向与磁场方向垂直且与分界线MN成60°角，图101234经过t1时间后粒子进入磁场区域Ⅱ，又经过t2时间后回到磁场区域Ⅰ.设粒子在区域Ⅰ、Ⅱ中的角速度分别为ω1、ω2，则A.t1∶t2＝1∶1 B.t1∶t2＝2∶1C.ω1∶ω2＝1∶1 D.ω1∶ω2＝1∶2√√123412342.(圆形边界的磁场)(2020·湖北荆州中学月考)如图11所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)，从A点沿半径方向以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并由B点射出，且∠AOB＝120°，则该粒子在磁场中运动的时间为123图114√12343.(圆形边界的磁场)(2020·辽宁省实验中学期中)如图12所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径.一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v1、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为123图12√4解析画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示，由题意，同一粒子在磁场中偏转时间同为t，则两种情况下带电粒子的偏转角均为60°；设圆的半径为R，由几何关系可以确定带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为r1＝2R，12344.(带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题)如图13所示，直角坐标系中y轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为B，图131234右边界PQ平行于y轴，一粒子(重力不计)从原点O以与x轴正方向成θ角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出.求：(1)粒子的比荷；解析粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，则由图知斜向上射入时有

rsinθ＝a，斜向下射入时有rsinθ＋a＝r，联立解得θ＝30°，且r＝2a，由洛伦兹力提供向心力得1234(2)粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间.解析粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的圆心角为α＝2×(90°－30°)＝120°，1234返回ZHUANTIQIANGHUALIAN专题强化练3训练2带电粒子在有界磁场中运动的临界和多解问题训练1带电粒子在有界磁场中的运动1.如图1所示，在x>0，y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B.现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)，在x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场力作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场，由这些条件可知A.带电粒子一定带正电B.不能确定粒子速度的大小C.不能确定粒子射出此磁场的位置D.不能确定粒子在此磁场中运动所经历的时间基础强化练123456789101112√图1训练1带电粒子在有界磁场中的运动1234567891011122.如图2所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为A.1∶2 B.2∶1C.1∶ D.1∶1√123456789101112图21234567891011123.(多选)(2020·信宜市高二月考)如图3所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上.不计重力.下列说法正确的有A.a、b均带正电B.a在磁场中运动的时间比b的短C.a在磁场中运动的路程比b的短D.a在P上的落点与O点的距离比b的近123456789101112√√图3解析离子要打在屏P上，都要沿顺时针方向偏转，根据左手定则可知，离子都带正电，选项A正确；由于是同种离子，因此质量、电荷量相同，因初速度大小也相同，由qvB＝

可知，它们做圆周运动的半径相同，作出运动轨迹，如图所示，比较得a在磁场中运动的路程比b的长，选项C错误；123456789101112从图上可以看出，选项D正确.4.(多选)如图4所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则A.从P射出的粒子速度大B.从Q射出的粒子速度大C.从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长D.两粒子在磁场中运动的时间一样长√123456789101112图4√解析作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，根据圆周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半径RP＜RQ，故由R＝

可知从Q点射出的粒子速度大，A错误，B正确；1234567891011125.如图5所示，空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面.一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°.不计粒子重力，该磁场的磁感应强度大小为123456789101112图5√123456789101112解析粒子的运动轨迹如图所示，粒子做圆周运动的轨道半径根据洛伦兹力提供向心力得6.(2020·广东潮州模拟)如图6所示，某两相邻匀强磁场区域以MN为分界线，磁感应强度分别为B1、B2，磁场方向均垂直于纸面(图中未画出)，有甲、乙两个电性相同的粒子同时分别以速率v1和v2从边界的a、c点垂直于边界射入磁场，经过一段时间后甲、乙两粒子恰好在b点相遇(不计重力及两粒子间的相互作用)，O1和O2分别位于所在圆的圆心，其中R1＝2R2，则A.B1、B2的方向相反B.v1＝2v2C.甲、乙两粒子做匀速圆周运动的周期不同D.若B1＝B2，则甲、乙两粒子的比荷不同√图6123456789101112解析若粒子带正电，则由左手定则可知两磁场均垂直纸面向外，若粒子带负电，由左手定则可知两磁场均垂直纸面向里，故B1、B2方向相同，A错误；1234567891011127.如图7所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质子和α粒子(氦原子核)先后以相同的动能对准圆心O射入磁场，若粒子只受磁场力的作用，已知质子在磁场中偏转的角度为90°，则α粒子在磁场中偏转的角度是A.30° B.45°C.90° D.120°123456789101112图7√能力综合练1234567891011128.如图8所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里且磁感应强度大小为B的匀强磁场，在x轴下方存在垂直于纸面向外且磁感应强度大小为

的匀强磁场.一带负电的粒子，带电荷量为q，质量为m，从原点O与x轴成30°角斜向上射入磁场，且在x轴上方磁场中运动的半径为R，不计粒子重力.则A.粒子经磁场偏转后一定能回到原点OB.粒子在x轴上方和下方磁场中运动的半径之比为2∶1C.粒子完成一次周期性运动的时间为D.粒子第二次射入x轴上方磁场时，沿x轴前进了3R123456789101112图8√123456789101112粒子第二次射入x轴上方磁场时沿x轴前进了l＝R＋2R＝3R，则粒子经磁场偏转后不能回到原点O，所以选项A错误，D正确.9.(2019·全国卷Ⅱ)如图9，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外.ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子.已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为123456789101112图9√123456789101112123456789101112图10123456789101112由几何关系有123456789101112(2)粒子从点A到点B的运动时间t.123456789101112解析设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹的圆心角为θ，11.如图11，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外.一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出.已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力.求：(1)带电粒子的比荷；图11123456789101112解析设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v.由动能定理有粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力有123456789101112(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间.123456789101112解析由几何关系知，带电粒子从射入磁场到运动到x轴经过的路程为带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为12345678910111212.一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图12所示.图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其图12尖子生选练中心轴以角速度ω顺时针转动.在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角.当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒，不计重力.若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为123456789101112√1234567891011121.(多选)如图1所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大值可能是基础强化练123456789图1训练2带电粒子在有界磁场中运动的临界和多解问题√√解析设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，带电粒子速率越大，轨道半径越大，当轨迹恰好与边界NN′相切时，粒子恰好不能从边界NN′射出，对应的速率最大.若粒子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得R＋Rcos45°＝d，123456789若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示，由几何知识得：R－Rcos45°＝d，1234567892.如图2所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为

的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值范围为图2√1234567891234567893.直线OM和直线ON之间的夹角为30°，如图3所示，直线OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外.一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0).粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角.已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计粒子重力.粒子离开磁场的出射点到两直线交点O的距离为图3√1234567891234567894.如图4所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电荷量的绝对值为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置.图4答案见解析123456789解析由于洛伦兹力提供向心力，则粒子在C点离开磁场，1234567891234567895.(2020·河南天一大联考)如图5所示，匀强磁场的边界是两个同心圆，内圆的半径为r，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，A是内侧边界上的一点.在圆心O处沿平行于纸面的方向射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子速度方向与OA成60°角，粒子经磁场第一次偏转后刚好从A点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是A.粒子一定带正电图5能力综合练√123456789解析根据题意，画出粒子第一次在磁场中运动的轨迹如图，根据左手定则可以判断出粒子带负电，选项A错误；1234567896.如图6所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0T.一质量为m＝5.0×10－8kg、电荷量为＋q＝1.0×10－6C的带电粒子从P点沿图示方向以v＝20m/s的速度进入磁场，图6答案0.90m

从x轴上的Q点离开磁场(Q点未画出).已知OP＝30cm，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，粒子重力不计，求：(1)O、Q两点间的距离；123456789代入数据得R＝0.50m故圆心一定在x轴上，轨迹如图甲所示.由几何关系可知OQ＝R＋Rcos37°，故OQ＝0.90m123456789(2)若粒子不能进入x轴上方，则磁感应强度B′满足的条件.123456789解析若带电粒子不从x轴射出(如图乙)，由几何关系得：OP≥R′＋R′sin37°1234567897.(多选)如图7所示，直线MN