2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第2章微点探索 二次函数、一元二次方程根的分布问题

第二章一元二次函数、方程和不等式微点探索

二次函数、一元二次方程根的分布问题会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．重点考法突破课时作业目录重点考法突破(1)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(

)A．[－3，0) B．(－∞，－3]C．[－2，0] D．[－3，0]考法1

二次函数的单调性与最值角度1二次函数的单调性二次函数单调性问题的求解策略角度2二次函数的最值(2)(2026·广东广州模拟)若函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，x∈[0，1]的最大值为2，则a的值为(

)A．1或2 B．－1或－2C．－1或2 D．1或－2求二次函数在闭区间上最值的类型及策略(2025·江苏宿迁模拟)已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2.(1)若a＝2，求函数f(x)在区间(－1，2)上的值域；(2)若函数f(x)在区间[0，2]上有最小值3，求a的值．考法2

一元二次方程根的分布问题(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根均为正数，则实数m的取值范围是______________．(2)已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若该方程有两根，且其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为__________；若方程的两根均在区间(0，1)内，则实数m的取值范围为______________．一元二次方程根的分布情况(1)两根与k的大小比较(以a>0为例)分布情况两根都小于k，即x1<k，x2<k两根都大于k，即x1>k，x2>k一根小于k，一根大于k，即x1<k<x2大致图象得出的结论f(k)<0(2)两根分别在区间(m，n)外(3)根在区间上的分布(以a>0为例)分布情况两根都在(m，n)内两根有且仅有一根在(m，n)内一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内大致图象1.已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋m－1＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________．2．已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是_________．(－3，0)课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点二次函数的最值根据二次函数的单调性求参数二次函数图象的应用根据二次函数的最值求参数一元二次方程根的分布问题一元二次方程根的分布问题根据二次函数的最值求参数题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★考点根据二次函数的单调性、最值求参数二次函数的单调性、最值及其零点分布的综合一元二次方程根的分布问题二次函数的图象与性质；一元二次方程根的分布问题根据二次函数的最值求参数一元二次方程根的分布问题根据二次函数的最值求参数一、单项选择题1．函数f(x)＝－x2＋2x－3在区间[0，＋∞)上(

)A．有最大值－2 B．有最大值－3C．有最小值－2 D．有最小值－3解析：因为f(x)＝－x2＋2x－3，所以函数f(x)的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝1，如图所示，由此可得函数f(x)在区间[0，1)上单调递增，在区间[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－1＋2－3＝－2，无最小值．故选A.3．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(

)A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<04．(2025·河南南阳期中)若函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[m，n]上的值域为[2，18]，则n－m的最大值为(

)A．2 B．4C．6 D．8解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，当f(x)＝18时，x2－2x＋3＝18，解得x＝－3或x＝5，又因为当x∈[－3，1)时，f(x)单调递减，当x∈(1，5]时，f(x)单调递增，所以n的最大值为5，m的最小值为－3，所以n－m的最大值为5－(－3)＝8.故选D.11．(2025·浙江杭州模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…－1012…y…m22n…三、填空题12．(2026·上海闵行区摸底考试)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋1在区间[0，m]上的值域为[1，5]，则m的取值范围是________．解析：因为f(x)＝－x2＋4x＋1＝－(x－2)2＋5，又f(0)＝1，f(2)＝5，所以函数f(x)的图象是开口向下，对称轴为直线x＝2，过点(0，1)的抛物线，作出函数f(x)的图象，如图．结合对称性可得f(4)＝1，因为函数f(x)＝－x2＋4x＋1在区间[0，m]上的值域为[1，5]，所以2≤m≤4，即m的取值范围是[2，4]．[2，4]13．(2026·河南安阳一中高三摸底考试)已知关于x的方程x2＋kx＋k2＋k－2＝0有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为__________．解析：由关于x的方程x2＋kx＋k2＋k－2＝0有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，构造函数f(x)＝x2＋kx＋k2＋k－2，则f(2)<0，即4＋2k＋k2＋k－2<0，解得－2<k<－1，则实数k的取值范围是(－2，－1)．(－2，－1)14．(2025·清华附中模拟)已知函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，4]上的最大值为M，当实数a，b变化时，M的最小值为____．解析：f(x)＝|x2－4x＋(a＋4)x＋b|＝|x2－4x－[－(a＋4)x－b]|，上述函数可理解为当横坐标相同时，函数g(x)＝x2－4x，x∈[0，4]与函数h(x)＝－(a＋4)x－b，x∈[0，4]图象上点的纵向距离，则M的最小值即为函数g(x)＝x2