2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第11章第1讲 计数原理、排列与组合

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第1讲计数原理、排列与组合

1．理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理分类加法计数原理完成一件事有___类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____种不同的方法分步乘法计数原理完成一件事需要__个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法m＋n1．两个计数原理m×n两两名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并按照___________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合__________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合一定的顺序2.排列与组合的概念作为一组不同排列所有不同组合n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！11重点考法突破

(1)若m，n∈N，m>0，n>0，且m＋n≤8，则平面上的点(m，n)共有(

)A．21个 B．20个C．28个 D．30个考法1两个计数原理

解析：根据题意，m可取的值为1，2，3，4，5，6，7，当m＝1时，n可取的值为1，2，3，4，5，6，7，共7个；当m＝2时，n可取的值为1，2，3，4，5，6，共6个；当m＝3时，n可取的值为1，2，3，4，5，共5个；当m＝4时，n可取的值为1，2，3，4，共4个；当m＝5时，n可取的值为1，2，3，共3个；当m＝6时，n可取的值为1，2，共2个；当m＝7时，n可取的值为1，共1个．则平面上的点(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28个．(2)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则不同的报名方法种数为(

)A．60 B．120C．180 D．240解析：因为每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法．由分步乘法计数原理，得不同的报名方法种数为6×5×4＝120.故选B.(3)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”共有____个．解析：在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成6×4＝24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成6×2＝12个“正交线面对”，所以共有24＋12＝36个“正交线面对”．36利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解．

1.(2025·重庆模拟)用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，每块区域只涂一种颜色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的种数是(

)A．120

B．72C．48 D．24解析：先涂E，有4种选择，接下来涂C，有3种选择，再涂F，有2种选择．①当C，D颜色相同时，涂色方法数是4×3×2×1×2×1＝48；②当C，D颜色不相同时，涂色方法数是4×3×2×1×(1＋2)＝72，所以满足题意的涂色方法种数是48＋72＝120.故选A.2．(2024·新课标Ⅱ卷，14)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有______种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是_____．2411211213140122233421322334315243444解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1＝24种选法．每种选法可标记为(a，b，c，d)，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为(11，22，33，44)，(11，22，34，43)，(11，22，33，44)，(11，22，34，42)，(11，24，33，43)，(11，24，33，42)，(12，21，33，44)，(12，21，34，43)，(12，22，31，44)，(12，22，34，40)，(12，24，31，43)，(12，24，33，40)，(13，21，33，44)，(13，21，34，42)，(13，22，31，44)，(13，22，34，40)，(13，24，31，42)，(13，24，33，40)，(15，21，33，43)，(15，21，33，42)，(15，22，31，43)，(15，22，33，40)，(15，22，31，42)，(15，22，33，40)，所以选中的方格中，(15，21，33，43)的4个数之和最大，为15＋21＋33＋43＝112.11213140122233421322334315243444

(1)(2026·重庆部分校高三开学考试)甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、洪崖洞民俗风貌区、重庆动物园、仙女山、白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有(

)A．96种

B．100种C．108种 D．120种考法2特殊元素优先考虑

(2)(2026·广西南宁第一中学开学考试)4名家长和3名儿童去爬山，7人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为_____．1440对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．

1.中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为(

)A．576 B．288C．144 D．482．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成_____个无重复数字且不大于4310的四位偶数．110

(1)(2026·上海闵行区模拟)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有(

)A．1440种

B．1360种C．720种 D．960种考法3相邻、不相邻问题——捆绑法、插空法(2)(2026·四川成都模拟)象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“帅”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有(

)A．120种

B．24种C．36种 D．12种相邻、不相邻问题的求解策略(1)元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．(2)元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．

1.考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”，我们把它和自然数1到6依次相乘，得142857×1＝142857，142857×2＝285714，142857×3＝428571，142857×4＝571428，142857×5＝714285，142857×6＝857142，结果是同样的数字，只是调换了位置．若将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为(

)A．24

B．36

C．72

D．1442．(2026·江苏南通开学调研)3名学生和2名老师随机排成一行，2名老师不相邻，则不同排法的种数为____．72考法4定序问题将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有____种不同的排列方法．40

(2026·湖南株洲模拟)某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须有，且它们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序有(

)A．240种

B．480种C．540种 D．720种考法5不同元素分配问题

按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本．

(2025·辽宁盘锦三模)将李老师、唐老师等六名优秀教师委派到三个学校进行督导活动，其中每个老师都必须去一个学校，每个学校至少派一名老师，则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有(

)A．240种 B．360种C．390种 D．420种考法6相同元素分配问题——隔板法

将12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．(1)若每个盒子中至少有一个小球，则不同的放法有多少种？(2)若每盒可空，则不同的放法有多少种？

20个相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为(

)A．120 B．240C．360 D．720课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★考点分步乘法计数原理有限制条件的排列问题重复元素排列问题分组分配问题数字排列问题染色问题计数原理的应用排列、组合综合问题数字排列问题分组分配问题题号111213141516难度★★★★★★★★★★★★考点分组分配问题有限制条件的排列问题定序问题排列、组合综合问题染色问题分组问题；有限制条件的排列问题一、单项选择题1．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有(

)A．34种 B．43种C．3×2×1种 D．4×3×2种1解析：由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有34种．故选A.2．(2026·北京顺义第一中学开学考试)甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数为(

)A．6 B．12C．24 D．363．将短语“mathstest”中所有的重复字母重新排列，能组成不同排列的个数为(

)A．10 B．20C．30 D．404．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有(

)A．60种 B．90种C．125种 D．150种5．(2026·重庆南开中学第一次质检)由1，2，3，4，5，6，7，8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，且满足3和4相邻，则这样的八位数有(

)A．432个 B．257个C．216个 D．504个6.给图中A，B，C，D，E五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则不同的染色方案共有(

)A．24种 B．36种C．48种 D．72种7.(2025·浙江杭州一模)如图所示是某个区域的街道示意图(每个小矩形的边表示街道)，那么从A到B的最短路线有(

)A．100条 B．400条C．200条 D．250条8．(2025·江苏南京二模)现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记录被抽取的球的序号分别为a1，a2，a3，则满足|a1－a2|＋|a2－a3|＋|a3－a1|＝6的情况有(

)A．54种B．55种C．56种D．58种二、多项选择题9．(2026·河北邢台名校联考)由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则组成的所有五位数中，(

)A．奇数有60个

B．能被5整除的有24个C．1在万位而2不在个位的有18个

D．比12345大的有108个11．现有4个小球和4个小盒子，下列相关结论正确的是(

)A．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个空盒的放法共有18种C．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个空盒的放法共有144种D．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种三、填空题12．(2026·湖南长沙雅礼中学高三月考(二))一排有7个空座位，有3人各不相