2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第4章微点探索　函数中的构造问题

第四章导数及其应用微点探索

函数中的构造问题1.能够通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.2.体会函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.重点考法突破课时作业目录重点考法突破已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，f(－3)＝0，当x>0时，3f(x)＋xf′(x)<0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是(

)A.(－∞，－3)∪(0，3) B.(－3，0)∪(3，＋∞)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(－3，0)考法1

利用f(x)与xn构造解析：设g(x)＝x3f(x)，则g′(x)＝3x2f(x)＋x3f′(x)＝x2[3f(x)＋xf′(x)]，当x>0时，因为3f(x)＋xf′(x)<0，则g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)，则g(－x)＝(－x)3f(－x)＝x3f(x)＝g(x)，则g(x)为偶函数，可得g(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(－3)＝0，则g(－3)＝g(3)＝0，当x>0时，由f(x)<0，得g(x)<0，即g(x)<g(3)，解得x>3；当x<0时，由f(x)<0，得g(x)>0，即g(x)>g(－3)，解得－3<x<0.综上所述，不等式f(x)<0的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).故选B.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是(

)A.(－∞，1) B.(－1，1)C.(－∞，0)∪(0，1) D.(－1，0)∪(0，1)考法2

利用f(x)与ex构造考法3

利用f(x)与sinx，cosx构造考法4

构造具体函数当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小.考法5

指对同构问题(2025·河南五市联考(一))若关于x的不等式logax≤ax恒成立，则实数a的取值范围是___________.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号123456难度★★★★★★★考点利用f(x)与xn构造函数解不等式利用f(x)与ex构造函数比较大小利用f(x)与xn构造函数比较大小构造具体函数比较大小利用f(x)与xn构造函数解不等式利用指对同构比较大小题号78910高阶拓展1112难度★★★★★★★★★★★★考点

利用f(x)与sinx，cosx构造函数比较大小利用f(x)与ex构造函数解不等式利用f(x)与sinx，cosx构造函数解不等式利用指对同构解决不等式恒成立问题利用超越不等式比较大小利用泰勒展开式或构造具体函数比较大小一、单项选择题1.(2026·福建龙岩模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2)＝6，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋2的解集为(

)A.(－∞，－2) B.(2，＋∞)C.(－2，2) D.R解析：根据题意，设g(x)＝f(x)－2x－2，则g′(x)＝f′(x)－2.因为对任意x∈R，f′(x)＞2，所以g′(x)＞0，即函数g(x)在R上为增函数，又f(2)＝6，所以g(2)＝f(2)－2×2－2＝0.由f(x)＞2x＋2，得f(x)－2x－2＞0，即g(x)＞g(2)，故x＞2，即原不等式的解集为(2，＋∞).故选B.3.(2026·湖南湘潭模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf′(x)＜2f(x)，则(

)A.4e2f(2)＜16f(e)＜e2f(4) B.e2f(4)＜4e2f(2)＜16f(e)C.e2f(4)＜16f(e)＜4e2f(2) D.16f(e)＜e2f(4)＜4e2f(2)4.(2026·湖北楚天协作体高三阶段练习)已知a＝1416，b＝1515，c＝1614，则a，b，c的大小关系为(

)A.b>c>a B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c5.(2026·山西朔州怀仁大地高中高三第一次月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x)，且当x≤0时，2f(x)＋xf′(x)<0，则不等式(x－2026)2f(x－2026)－f(－1)>0的解集为(

)A.(－∞，2025) B.(2025，2027)C.(－∞，2025)∪(2027，＋∞) D.(2027，＋∞)二、多项选择题6.(2025·安徽蚌埠一模)已知a>e，b>e，且a(1＋lnb)＝(1＋eb)lna，其中e为自然对数的底数，则下列结论正确的是(

)A.lna－lnb>1 B.ea<bC.2lna＋2lnb>6 D.ab>e3三、填空题8.(2026·江西婺源模拟)若e为自然对数的底数，f(x)是定义在R上的函数，且f(x)＋f′(x)<1，f(0)－4＝0，则不等式exf(x)>ex＋3的解集为________.解析：令g(x)＝exf(x)－ex，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，∵f(x)＋f′(x)<1，∴f(x)＋f′(x)－1<0，∴g′(x)<0，则g(x)在R上单调递减，∵g(0)＝f(0)－1＝4－1＝3，∴exf(x)>ex＋3等价于g(x)>g(0)，∵g(x)在R上单调递减，∴x<0，∴不等式exf(x)>ex＋3的解集为(－∞，0).(－∞，0)10.(2025·山西晋城二模)若关于x的不等式x2x>axlnx