2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第9章微点探索 与圆有关的最值问题

第九章直线与圆、圆锥曲线微点探索

与圆有关的最值问题1．熟练掌握几何性质法、构建目标函数法、利用对称性求最值的方法．2．体会数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用．重点考法突破课时作业目录重点考法突破考法1

借助几何性质求最值考法2

构建目标函数求最值12建立函数关系式求最值时，首先根据已知条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(2026·山东济南模拟)已知圆M：x2＋y2＋2x－4y－4＝0，过点P(0，1)的两条互相垂直的直线分别交圆M于点A，B，C，D，则四边形ABCD面积的最大值为________，最小值为________．16(2026·安徽湖州模拟)已知点A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，且点P是圆M：x2＋y2＝4上的一个动点，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为_____．解析：依题意，设P(2cosθ，2sinθ)，则|PA|2＝(2cosθ＋2)2＋(2sinθ＋2)2＝12＋8cosθ＋8sinθ，|PB|2＝(2cosθ＋2)2＋(2sinθ－6)2＝44＋8cosθ－24sinθ，|PC|2＝(2cosθ－4)2＋(2sinθ＋2)2＝24－16cosθ＋8sinθ，∴|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝80－8sinθ，又sinθ∈[－1，1]，则80－8sinθ∈[72，88]，故|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88．88(2026·山东烟台模拟)已知圆C：x2＋y2－4y＋3＝0，点M(7，12)，直线l：y＝x．点P是圆C上的动点，点Q是l上的动点，则|PQ|＋|QM|的最小值为(

)A．11 B．12 C．13 D．14考法3

利用对称性求最值求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．课时作业基础题(占比40%)中档题(占比50%)拔高题(占比10%)题号123456难度★★★★★★★考点构建目标函数求最值；利用圆的参数方程求最值；借助几何性质求最值(截距型)借助几何性质求最值(斜率型)利用对称性求最值(反射问题)借助几何性质求最值(向量问题)借助几何性质求最值(距离型)借助几何性质求最值(向量问题)题号78910高阶拓展1112难度★★★★★★★★★★★★★考点借助几何性质求最值(线段长度的和差问题)借助几何性质求最值(综合问题)借助几何性质求最值(线段长度问题)构建目标函数求最值利用圆的参数方程、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换、三角函数的值域求最值利用圆的参数方程、辅助角公式、三角函数的值域求最值三、填空题9．已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC内一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为________．10．(2026·辽宁沈阳模拟)设m∈R，圆M：x2＋y2－2x－6y＝0．若动直线l1：x＋my－2－m＝0与圆M交于A，C两点，动直线l2：mx－y－2m＋1＝0与圆M交于B，D两点，则|AC|＋|BD|的最大值是________．12．