2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第4章第6讲　利用导数研究不等式的证明问题

第四章导数及其应用第6讲利用导数研究不等式的证明问题1.能利用作差构造法、双函数构造法、指对放缩构造法解决不等式的证明问题.2.能利用裂项、放缩等方法解决与正整数n有关的不等式的证明问题.重点考法突破课时作业目录重点考法突破考法1作差构造法(2023·新课标Ⅱ卷，22，节选)证明：当0<x<1时，x－x2<sinx<x.证明：构建F(x)＝x－sinx，x∈(0，1)，则F′(x)＝1－cosx>0对任意x∈(0，1)恒成立，则F(x)在(0，1)上单调递增，可得F(x)>F(0)＝0，所以x>sinx，x∈(0，1)；构建G(x)＝sinx－(x－x2)＝x2－x＋sinx，x∈(0，1)，则G′(x)＝2x－1＋cosx，x∈(0，1)，构建g(x)＝G′(x)，x∈(0，1)，则g′(x)＝2－sinx>0对任意x∈(0，1)恒成立，则g(x)在(0，1)上单调递增，可得g(x)>g(0)＝0，即G′(x)>0对任意x∈(0，1)恒成立，则G(x)在(0，1)上单调递增，可得G(x)>G(0)＝0，所以sinx>x－x2，x∈(0，1).综上所述，当0<x<1时，x－x2<sinx<x.利用作差构造法证明不等式的基本步骤求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.证明：设f(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是f′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.令g(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，所以g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，则x＝ln2，所以当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增.当a＞ln2－1时，g(x)的最小值为g(ln2)＝2(1－ln2＋a)＞0.于是对任意x∈R，都有f′(x)＞0，所以f(x)在R上单调递增.于是当a＞ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞f(0)，又f(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，f(x)＞0，即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.考法2双函数构造法利用双函数构造法证明不等式的策略(1)当直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的.在证明过程中，等价转化是关键，若要证明f(x)≥g(x)恒成立，则需证明f(x)min≥g(x)max.(2)等价变形时，一般地，ex与lnx要分离，常构造xn与lnx，xn与ex的积、商形式，便于求导后找到极值点.已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.考法3指对放缩构造法证明：ex>2x＋lnx.考法4与正整数n有关的证明问题证明函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的多项式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的.高阶拓展——飘带不等式、凹凸函数的切割线放缩证明：当0<x<1时，x[esinx－xln(x＋1)]>ex－x－1恒成立.课时作业基础题(占比20%)中档题(占比50%)拔高题(占比30%)题号1234高阶拓展56难度★★★★★★★★★★★★★考点作差构造法证明不等式双函数构造法证明不等式指对放缩构造法证明不等式与正整数n有关的证明问题飘带不等式的应用求切线及利用切线放缩证明不等式1.(2025·青海西宁高三模拟)设函数f(x)＝x3－2x2＋ax＋blnx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋e.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)>－x.6.已知函数f(x)＝4ex－1＋ax2，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx＋1.(1)求