2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第9章第7讲　定点、定值、定直线问题

第九章直线与圆、圆锥曲线第7讲定点、定值、定直线问题1．能利用直接推理法和逆推法求解定点问题．2．能利用先特殊后一般的方法或直接推理、计算的方法求解定值问题．3．能利用设点法、待定系数法、验证法求解定直线问题．高阶拓展重点考法突破课时作业目录重点考法突破考法1定点问题(2025·山东齐鲁名校冲刺(二))已知点A(－2，0)，B(2，0)，P是平面内一动点，PQ⊥AB，垂足Q位于线段AB上且不与点A，B重合，4|PQ|2＝3|AQ|·|QB|．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点D(1，0)且与曲线C相交的两条线段分别为EF和MN，EF⊥MN(直线EF，MN的斜率均存在，且点E，F，M，N都在曲线C上)，若G，H分别是EF和MN的中点，求证：直线GH过定点．定点问题的解题策略(1)直接推理法求定点：探索直线过定点时，注意讨论直线的斜率是否存在．若直线的斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋m，然后利用条件建立m，k之间的等量关系，消元后借助于直线系的思想找出定点．(2)逆推法求定点：先猜后证，可先由运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即斜率k＝0或斜率不存在时．找出定点，再证明该点符合题意(运用斜率相等或者三点共线)或证明与变量无关．考法2定值问题(2026·黑龙江哈尔滨模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)与过点E(4，0)的直线l交于A，B两点，且OA⊥OB．(1)求抛物线C的方程；(2)过点Q(1，－4)且不过点P(4，4)的直线与抛物线交于C，D两点，若直线PC，PD的斜率都存在且分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．定值问题的常见类型及解题策略(1)证明代数式为定值．依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形．(3)求某线段长度为定值．利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形即可．(4)证明某角为定值．将角转化为斜率或向量的夹角进行求解．考法3定直线问题定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题．这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程．(2)待定系数法：设出含参数的直线方程，再用待定系数法求解出系数．(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，再对一般位置进行验证．高阶拓展——极点、极线1．极点与极线的定义过点P(x0，y0)的动直线交圆锥曲线于A，B两点，过A，B的切线交点的轨迹叫做点P关于圆锥曲线的极线，点P叫做相应于此极线的极点，简称极．一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系．2．极点、极线与圆锥曲线的位置关系如图1，若极点P在圆锥曲线外，则相应的极线l与点P的切点弦重合，即相应的极线l是由点P向圆锥曲线所引的两条切线的切点弦所在的直线，极线l与圆锥曲线有两个交点；如图2，若极点P在圆锥曲线内，则极线l是圆锥曲线经过点P的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，此时极线l与圆锥曲线相离，它们无交点；如图3，若极点P在圆锥曲线上，则相应的极线l与在点P处的切线重合，即相应的极线l就是圆锥曲线在点P处的切线，极线l与圆锥曲线有唯一交点．4．自极三角形如图，设P是不在圆锥曲线上的一点，过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点A，B，C，D，连接BC，AD交于点M，连接AC，BD交于点N，则直线MN为点P对应的极线．同理可知，PM为点N所对应的极线，PN为点M所对应的极线，因而将△PMN称为自极三角形．如何找自极三角形：先找到形成第一个极点P(或M或N)的曲线上的四个点，如A，B，C，D，再两两相连可以得到另外两个极点．(3)如图3，A，B为圆锥曲线Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上)，若A，B关于Γ调和共轭，过点B任作Γ的一条割线，交Γ于P，Q两点，则∠PAB＝∠QAB．(4)如图4，已知点Q在圆锥曲线Γ的对称轴上，直线l垂直于该对称轴，过点Q作直线交Γ于M，N两点，P为l上任意一点．若点Q与直线l是Γ的一对极点与极线，当对称轴是x轴时，kPM＋kPN＝2kPQ．(6)如图6，设圆锥曲线Γ的一个焦点为F，与F相应的准线为l．若过点F的直线与圆锥曲线Γ相交于M，N两点，则Γ在M，N两点处的切线的交点Q在准线l上，且FQ⊥MN；反之，若过准线l上一点Q作圆锥曲线Γ的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过焦点F，且FQ⊥MN．课时作业中档题(占比30%)拔高题(占比70%)题号123高阶拓展4难度★★★★★★★★★★★考点定值问题；定点问题定直线问题定点问题；定直线问题定点问题；极点、极线1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，O为坐标原点，焦点在直线2x＋4y－1＝0上．(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点(4，0)作动直线l与抛物线C交于M，