2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第8章第2讲　与球有关的切、接问题

第八章立体几何与空间向量第2讲

与球有关的切、接问题1．熟悉与外接球有关的常见的几何模型．2．能根据多面体、旋转体的几何性质确定外接球、内切球、棱切球的球心．3．能灵活运用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体的切、接问题来解决．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理重点考法突破考法1外接球的长方体模型(2)如图，在四面体P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝2BC＝2，则此四面体外接球的表面积为(

)A．3πB．9πC．36π D．48π可以补成长方体的三大模型(1)(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两垂直，如图①．(2)(鳖臑模型)三棱锥的四个面均是直角三角形，如图②．(3)(对棱相等模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图③．考法2外接球的圆柱模型16π考法3外接球的圆锥模型(2)(2026·安徽阜阳模拟)若三棱锥P－ABC的四个顶点都在表面积为676π的球的表面上，△ABC所在的小圆面积为25π，则该三棱锥以△ABC为底面的高的最大值为(

)A．25 B．16C．49 D．1如图1和图2，圆锥的高PO1＝h，底面半径AO1＝r，球的半径为R，则OO1＝|h－R|，在△AOO1中，有|h－R|2＋r2＝R2，故圆锥的外接球相关计算抓住△AOO1即可．除了标准的圆锥模型，对于侧棱相等的棱锥，也可放到圆锥中考虑，如图3的三棱锥P－ABC．48π考法4外接球的台体模型(1)(2026·河南安阳模拟)在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为(

)A．3∶4 B．1∶2C．3∶8 D．3∶10考法5内切球问题(2)(2026·重庆渝中模拟)已知高为4的圆台存在内切球，其下底面半径为上底面半径的4倍，则该圆台的表面积为(

)A．57πB．50πC．25π D．42π解析：依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆，等腰梯形ABCD为圆台轴截面，其内切圆O与梯形ABCD切于点O1，E，O2，F，其中O1，O2分别为上、下底面的圆心，如图，设圆台的上底面半径为r，则下底面半径为4r，BC＝BE＋CE＝O2B＋O1C＝5r，而等腰梯形ABCD的高O1O2＝4，因此(5r)2－(4r－r)2＝42，解得r＝1，所以该圆台的表面积为16π＋π＋5×(4＋1)π＝42π．故选D．(3)(2025·新课标Ⅱ卷，14)一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm．解析：设两铁球的球心分别为A，B，铁球的半径为r，且r<4，如图为两铁球球心所在的圆柱的轴截面．由圆柱与球的性质，得AB2＝(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝(2r－5)(2r－29)＝0，因为r<4，所以r＝2．5．2.52．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．3．(2026·河北秦皇岛模拟)如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为________．考法6棱切球问题(1)(2026·浙江台州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点．12

课时作业基础题(占比40%)中档题(占比50%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考点棱切球问题；外接球的长方体模型内切球问题外接球的圆锥模型外接球的台体模型外接球的圆锥模型四面体的外接球外接球的圆柱模型；外接球的圆锥模型；外接球的长方体模型外接球的圆锥模型；内切球问题外接球的圆柱模型；棱切球问题两个侧面垂直的三棱锥的外接球问题二、多项选择题7．将一个直径为10的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是(

)A．底面直径为8，高为6的圆柱B．底面直径为8，高为8的圆锥C．底面直径为7，高为9的圆锥D．各棱长均为8的四面体10．已知A，