2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第3章第2讲 函数的基本性质

第三章函数第2讲函数的基本性质

1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.3.了解周期性的概念和几何意义.4.能综合运用函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性解决问题．核心知识梳理重点考法突破课时作业(一)目录课时作业(二)核心知识梳理单调递增单调递减定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D.

∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上__________当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上__________单调递增1．函数的单调性(1)定义单调递减图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是________增(减)函数当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数上升的下降的(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)________，区间I叫做y＝f(x)的_________．点拨：对勾函数的单调性单调性单调区间12.函数的奇偶性奇函数偶函数定义设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有________且_____________，那么函数f(x)是奇函数且___________，那么函数f(x)是偶函数图象特点关于______对称关于_____对称－x∈Df(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)原点y轴前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；(2)

∃x0∈D，使得f(x0)＝M(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；(2)

∃x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为函数y＝f(x)的________M为函数y＝f(x)的________最大值3.函数的最值最小值4.函数的周期性(1)周期函数设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有_________，且_____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，同时kT(k∈Z，k≠0)也是这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．x＋T∈Df(x＋T)＝f(x)最小最小正数重点考法突破考法1单调性、奇偶性角度1单调性、奇偶性的判断单调性、奇偶性的判断方法1．定义法．2．图象法．3．性质法(1)判断函数单调性常用的性质①若f(x)，g(x)均在区间I上单调递增(减)，则f(x)＋g(x)也在区间I上单调递增(减)；②若k>0，则kf(x)与f(x)的单调性相同，若k<0，则kf(x)与f(x)的单调性相反；2．已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是(

)A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：易知f(x)＝sinx是奇函数，g(x)＝ex＋e－x是偶函数，|f(x)|＝|sinx|，|g(x)|＝|ex＋e－x|都是偶函数，所以f(x)g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|是奇函数，A，B错误，C正确；|f(x)g(x)|＝|(ex＋e－x)sinx|，|f(－x)g(－x)|＝|(e－x＋ex)sin(－x)|＝|(ex＋e－x)sinx|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，D错误．故选C.

(1)(多选)(2025·湖北四市联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(

)A．f(f(1))<f(f(2)) B．f(g(1))<f(g(2))C．g(f(1))<g(f(2)) D．g(g(1))<g(g(2))角度2单调性、奇偶性的应用解析：因为f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在(－∞，0]上均单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，即g(x)在R上单调递减，所以f(1)<f(2)，g(2)<g(1)<g(0)＝0，所以f(g(1))<f(g(2))，g(f(1))>g(f(2))，g(g(1))<g(g(2))，故B，D正确，C不正确；若f(1)<f(2)<0，则f(f(1))>f(f(2))，故A不正确．故选BD.

利用函数的单调性、奇偶性常解决的问题及策略比较大小若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用奇偶性等性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较解不等式(1)画草图，由图解不等式；(2)利用单调性，转化为关于自变量的不等式(组)求解求参数(1)已知分段函数的单调性求参数时，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值的大小；(2)已知函数的奇偶性求参数时，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，求解即可奇函数＋常函数问题对于F(x)＝f(x)＋c，其中f(x)为奇函数，有(1)F(a)＋F(－a)＝2c；(2)若F(x)的最大值与最小值分别为m，n，则m＋n＝2c解析：当x<0时，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋2(－x)2]＝x3－2x2，通过对比系数得a＝－2.故选A.2考法2函数的最值(值域)问题函数的最值(值域)的几种求解方法(1)分离常数法：分子上构造一个跟分母一样的因式，把分式拆成常量和变量，进一步求出最值．(2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(3)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(6)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．2－1考法3周期性、对称性33．对称性与周期性的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|.(2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|.(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|.解析：当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，则f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的一个周期为6，∴f(25)＝f(4×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.－1已知定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则(

)A．f(11)<f(12)<f(21) B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12) D．f(21)<f(11)<f(12)考法4函数性质的综合解析：∵函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴－f(－x)＝f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)的一个周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f(x)在(－2，2)上单调递增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．故选A.综合应用函数性质的解题技巧(1)根据奇偶性、对称性推得周期性．(2)利用周期性转化自变量所在的区间．(3)利用单调性解决相关问题．

1.(多选)(2026·广东深圳中学高三开学考试)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且y＝f(2－x)为偶函数，则下列结论正确的是(

)A．函数f(x)的一个周期为4B．函数f(x)的图象关于直线x＝2对称C．函数f(x)的图象关于点(1，0)对称D．函数f(x)为奇函数解析：对于A，f(x＋2)＋f(x)＝0⇒f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的一个周期为4，所以A正确；对于B，因为y＝f(2－x)是偶函数，则有f(2－x)＝f(2＋x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以B正确；对于C，因为f(2－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，则f(2－x)＋f(x)＝0，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以C正确；对于D，因为f(2－x)＝f(2＋x)，则f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以D错误．故选ABC.课时作业(一)基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★★★考点函数单调性、奇偶性的判断根据函数的周期性、奇偶性求函数值求函数的值域根据函数的奇偶性求参数函数图象对称性的判断根据函数的单调性、奇偶性求参数根据函数图象的对称性解不等式函数周期性的应用题号910111213141516难度★★★★★★★★★★★★★考点函数单调性的应用函数图象的对称性函数的奇偶性、周期性的综合求函数的单调区间函数奇偶性的应用函数图象对称性的应用函数的周期性、奇偶性、对称性的综合函数图象的对称性、单调性的综合解析：f(x)＝2x－24－x，则f(4－x)＝24－x－24－(4－x)＝24－x－2x，所以f(x)＋f(4－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(2，0)对称．故选B.[0，1)13．(2026·湖南邵阳模拟)设函数f(x)＝a(x＋1)2－x，g(x)＝sinx＋2ax，当曲线y＝f(x)和y＝g(x)恒有交点时，记实数a的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝___．0(0，2)12四、解答题15．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为奇函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.课时作业(二)基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★考点函数单调性的判断利用函数的单调性求最值根据函数的奇偶性求函数值函数单调性的应用根据函数的单调性求参数函数图象的对称性根据函数的单调性、奇偶性解不等式函数图象对称性的应用题号910111213141516难度★★★★★★★★★★★★★★★考点函数奇偶性的应用函数的奇偶性、周期性、图象的对称性的综合

函数的单调性、奇偶性、周期性、图象的对称性的综合根据函数的奇偶性求参数利用函数的图象求函数的最值函数的周期性、奇偶性、图象的对称性的综合函数的周期性、图象的对称性的综合函数的单调性、图象的对称性的综合解析：因为f(4＋x)＝－f(4－x)，所以f(x)的图象关于点(4，0)中心对称，故A正确；因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(4－x)，又因为f(4＋x)＝－f(4－x)，所以f(x)＝－f(4＋x)，所以f(4＋x)＝－f(8＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，所以f(x)的一个周期为8，故B正确；f(2025)＝f(253×8＋1)＝f(1)，故C正确；由f(4＋x)＝－f(4－x)，得f(7)＝f(4＋3)＝－f(1)，又当x∈[0，2]时，f(x)＝x2－2x，所以f(1)＝12－2×1＝－1，即f(7)＝1，故D错误．故选ABC.三、填空题12．(2026·重庆沙坪坝模拟)已知函数f(x)＝sinx(2x＋a·2－x)为偶函数，则实数a的值为_____．解析：因为y＝sinx为奇函数，当函数f(x)＝sinx·(2