2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第8章第8讲　立体几何中的翻折与探索性问题

第八章立体几何与空间向量第8讲立体几何中的翻折与探索性问题1．能运用几何法研究由翻折形成的空间几何体中的线、面位置关系．2．能以空间向量为工具，探索空间几何体中线、面的位置关系或空间角、空间距离存在的条件．重点考法突破课时作业目录重点考法突破考法1翻折问题(2025·新课标Ⅱ卷，17)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得平面EFD′A′与平面EFCB所成的二面角为60°．(1)证明：A′B∥平面CD′F；(2)求平面BCD′与平面EFD′A′所成的二面角的正弦值．解：(1)证明：因为AB∥CD，所以AE∥DF，所以A′E∥D′F，因为D′F⊂平面CD′F，A′E⊄平面CD′F，所以A′E∥平面CD′F．因为FC∥EB，FC⊂平面CD′F，EB⊄平面CD′F，所以EB∥平面CD′F，又EB∩A′E＝E，EB，A′E⊂平面A′EB，所以平面A′EB∥平面CD′F，又A′B⊂平面A′EB，所以A′B∥平面CD′F．(2)因为∠DAB＝90°，所以AD⊥AB，又因为AB∥FC，EF∥AD，所以EF⊥FC，以F为原点，FE，FC所在直线以及垂直于平面EFCB的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为D′F⊥EF，CF⊥EF，平面EFD′A′与平面EFCB所成的二面角为60°，所以∠D′FC＝60°．设AD＝1，所以AB＝3，CD＝2，因为F为CD的中点，所以DF＝FC＝1，解决与翻折有关问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量．一般情况下，在同一半平面内的位置关系和度量关系不变，在两个半平面内的关系多发生变化，弄清相应的关系是解题的突破口．(2025·北京海淀三模)如图1，等腰直角三角形ABC的底边AB＝4，点D在线段AC上，DE⊥AB于点E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图2)．(1)求证：DE⊥PB；(2)若AE＝1，PE⊥BE，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值；(3)设平面PDE∩平面PBC＝l，试判断l与平面DEBC的位置关系，并说明理由．解：(1)证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，∵BE∩PE＝E，PE，BE⊂平面PEB，∴DE⊥平面PEB，∵PB⊂平面PEB，∴DE⊥PB．(2)∵△ABC是等腰直角三角形且AB＝4，∴点C到AB的距离为2，∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴以E为原点，DE，BE，PE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，考法2探索性问题向量法探究平行、垂直问题的策略对于空间位置关系的探究，先假设所探究的平行、垂直关系成立，再建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示出来，根据线、面满足的位置关系构建方程(组)求解，最后根据方程(组)解的情况来判断所探究的点是否存在．向量法探究空间角、空间距离问题的策略先假设存在，把要探究的空间角、空间距离的大小当作已知条件，据此列方程或方程组，再把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等来进行求解．课时作业中档题(占比50%)拔高题(占比50%)题号1234难度★★★★★★★★★★考点翻折问题；线线垂直的判定；求二面角的正弦值翻折问题；线面平行的判定；由直线与平面所成的角探索点的存在性问题翻折问题；线面平行的判断；面面垂直的判断；求平面与平面夹角的余弦值探索性问题；证明面面垂直；由直线与平面所成的角求线段长2．(2026·广东深圳模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角A－EF－C的大小为60°，M为线段AB上一点．(1)若M为线段AB的中点，设直线MF与直线EA的交点为O，证明：OD∥平面EMC；(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求此时线段AM的长；若不存在，请说明理由．3．(2025·山东烟台模拟)在如图1所示的平面图形中，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，△PAD和△BCQ均为直角三角形，∠PDA＝∠QCB＝90°，PD＝AD＝2QC＝2，现沿AD，BC将△PAD和△BCQ进行翻折，使PD∥QC(PD，QC在平面ABCD同侧)，如图2．(1)当二面角P－AD－B为