专题　实系数二次方程实根(二次函数的零点)分布问题（教师版）

PAGE专题实系数二次方程实根(二次函数的零点)分布问题类型1R上根的分布情况【典例1】(2026·淮安高一检测)如果二次函数y=x2+2mx+m+2有两个不同的零点,那么实数m的取值范围为()A.{m|-2<m<1} B.{m|-1<m<2}C.{m|m<-1或m>2} D.{m|m<-2或m>1}【解析】选C.由二次函数y=x2+2mx+m+2有两个不同的零点,得Δ>0,即4m2-4(m+2)>0,解得m<-1或m>2,所以实数m的取值范围为{m|m<-1或m>2}.【解题有招】一元二次方程在R上根的分布情况(1)表示出一元二次方程的判别式,若Δ>0,则方程有两个不相等的实数根;若Δ<0,则方程无实数根;若Δ=0,则方程有两个相等的实数根.(2)如果二次项系数含有参数,需要考虑参数是否为0的情况.【即学即练】(2025·西安高一检测)已知二次函数y=(k-3)x2+2x+1有两个零点,则k的取值范围是()A.{k|k<4} B.{k|k≤4}C.{k|k<4且k≠3} D.{k|k≤4且k≠3}【解析】选C.因为二次函数y=(k-3)x2+2x+1有两个零点,所以方程(k-3)x2+2x+1=0有两个不等的根,所以k-3≠0Δ=4-4类型2根的“0”分布【典例2】若关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,则实数a的取值范围是()A.(0,1) B.(0,+∞)C.(1,+∞) D.(-∞,0)【解析】选C.因为关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,所以a≠0Δ=4故实数a的取值范围是(1,+∞).【解题有招】一元二次方程根的“0”分布一元二次方程根的“0”分布可以根据判别式,结合根与系数的关系列不等式(组)求参数的取值范围.【即学即练】1.设p:实数m满足-1<m<0,q:一元二次方程x2+3x+m+1=0有两个负数解,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.命题q:一元二次方程有两个负数解,所以Δ=解得-1<m≤54,所以p是q的充分不必要条件2.若一元二次方程ax2-2x-4=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则实数a的取值范围为()A.{a|a>0} B.{a|a>2}C.{a|a>1} D.{a|a>-1}【解析】选A.因为一元二次方程ax2-2x-4=0(a≠0)有一个正根和一个负根,设两根分别为x1,x2,则Δ=(-2)类型3根的“k”分布【典例3】已知方程x2+(m-2)x+5-m=0有两个不相等的实数根,且两个实数根都大于2,则实数m的取值范围是()A.(-5,-4)∪(4,+∞)B.(-5,+∞)C.(-5,-4)D.(-4,-2)∪(4,+∞)【解析】选C.令f(x)=x2+(m-2)x+5-m,由题可知:Δ>0(m-则-5<m<-4,即m∈(-5,-4).【解题有招】一元二次方程根的“k”分布分布情况两根都小于k即x1<k,x2<k两根都大于k即x1>k,x2>k一根小于k,一根大于k即x1<k<x2大致图象(a>0)得出的结论Δ>0Δ>0f(k)<0大致图象(a<0)得出的结论Δ>0Δ>0f(k)>0【即学即练】1.关于x的方程x2+(1+2a)x+9=0有两个不相等的实数根x1,x2且x1<1<x2,那么a的取值范围是()A.(-27,25) B.(25C.(-∞,-27) D.(-2【解析】选D.设f(x)=x2+(1+2a)x+9,则Δ=(1+2即a的取值范围为(-211,0)2.(2026·扬州高一检测)已知二次函数y=x2-5x+m的两个零点都在区间(1,+∞)内,则实数m的取值范围是()A.(-∞,254) B.(-∞,25C.(4,254) D.(4,25【解析】选C.二次函数y=x2-5x+m的图象是一条抛物线,开口向上,对称轴方程为x=52若它的两个零点都在区间(1,+∞)内,只需满足Δ=(-5)所以m的取值范围为(4,254)类型4根在区间上的分布【典例4】若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是.

【解析】设f(x)=x2-2ax+4,由题意Δ=4a2-答案:(52,+∞【解题有招】一元二次方程根在区间上的分布分布情况两根都在(m,n)内两根仅有一根在(m,n)内(图象有两种情况,只画了一种)一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,m<n<p<q大致图象(a>0)得出的结论Δ>0f(m)·f(n)<0f(m大致图象(a<0)得出的结论Δ>0f(m)·f(n)<0f(m【即学即练】(2025·北京高一检测)关于x的方程x2-2ax+1=0的两个实数根x1,x2,满足0<x1<1<x2<2,则常数a的取值范围是()A.(0,1) B.(1,+∞)C