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文档简介

11.5联结词全功能集

联结词全功能集与非联结词,或非联结词2联结词的全功能集定义

设S是一个联结词集合，如果任何n(n

1)元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词全功能集.说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都可用S中的联结词表示.

设S1,S2是两个联结词集合，且S1

S2.若S1是全功能集，则S2也是全功能集.

反之，若S2不是全功能集，则S1也不是全功能集.3联结词全功能集实例定理{

,∧,∨}、{

,∧}、{

,∨}、{

,→}都是联结词全功能集.证明每一个真值函数都可以用一个主析取范式表示,故{

,∧,∨}是联结词全功能集.p∨q

(

p∧

q)，故{

,∧}是全功能集.

p∧q

(

p∨

q)，故{

,∨}是全功能集.p→q

p∨q,故{

,→}也是全功能集.4复合联结词

与非式:p

q(p

q)或非式:p

q(p

q)

和

与

,∧,∨有下述关系:

p

(p∧p)

p

pp∧q

(p∧q)

(p

q)

(p

q)

(p

q)p∨q

(

p∧

q)

(

p)

(

q)

(p

p)

(q

q)5

p

p

pp∧q

(p

p)

(q

q)p∨q

(p

q)

(p

q)定理{

},{

}是联结词全功能集.可以证明:{∧,∨}不是全功能集,从而{∧},{∨}也不是全功能集.复合联结词(续)

6例例

将公式p∧

q化成只含下列各联结词集中的联结词的等值的公式.(1){

，∨}；(2){

，→}；(3){↑}；(4){↓}.解(1)p∧

q

(

p∨q).(2)p∧

q

(

p∨q)

(p→q).(3)p∧

q

p∧(q↑q)

(

(p∧(q↑q)))

(p↑(q↑q))

(p↑(q↑q))↑(p↑(q↑q)).(4)p∧

q

(

p∨q)

(

p)↓q

(p↓p)↓q.组合电路逻辑门:实现逻辑运算的电子元件.与门,或门,非门.组合电路:实现命题公式的由电子元件组成的电路.7与门或门非门xx∧yx∨y

xyxyx组合电路的例子8(x∨y)∧

x的组合电路xyxyx第一种画法第二种画法例例

楼梯的灯由上下2个开关控制,要求按动任何一个开关都能打开或关闭灯.试设计一个这样的线路.解x,y:开关的状态,F:灯的状态,打开为1,关闭为0.不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.

F=m0∧m3=(

x∧

y)∨(x∧y)9例(续)10设计组合电路步骤:1.构造输入输出表(问题的真值函数),2.写出主析取范式,3.化简.最简展开式:包含最少运算的公式例

当且仅当

x=y=z=1或

x=y=1且

z=0时输出1.F=m6∨m7=(x∧y

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