6.1.4方差的应用（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.

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2026年7月30日

6.1.4方差的应用第六章

数据的分析

6.1.4方差的应用

同步知识点+练习题【核心知识点精讲】上一节我们学会了计算方差、标准差，本节重点掌握方差的实际应用。在实际问题中，平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的稳定性、整齐程度，二者结合是考试必考答题模板。一、方差应用核心结论（答题万能依据）在两组数据平均数相同或相近的前提下：1.方差越小

→

数据波动越小、越稳定、成绩越整齐、发挥越平稳；2.方差越大

→

数据波动越大、起伏越大、不稳定、忽高忽低。关键前提：必须先对比平均数！平均数差距大时，优先看平均水平，不能只看方差。二、四大必考应用场景场景1：成绩稳定性对比（考试最常考）对比两名学生多次考试成绩，选成绩稳定、发挥平稳的学生。答题话术：两人平均分相近，某人方差更小，成绩更稳定，更适合。场景2：运动员选拔（射击、跑步、投篮）竞技比赛优先选择发挥稳定、失误少的选手，优先选方差小的。场景3：产品质量检测工厂生产零件、产品尺寸，要求数据整齐、误差小，方差越小，产品质量越稳定、合格率越高。场景4：数据整体评价（综合分析）既要比较平均水平（平均数），又要比较稳定性（方差），综合评判优劣。三、两种特殊选拔规则（重难点）1.求稳场景（常规）平均数相同，选方差小：稳定、整齐、风险小。2.冲刺突破场景（少数考题）平均数略低，但方差大：数据起伏大，爆发力强、上限高，适合需要冲刺、突破的选拔。四、标准满分答题模板（直接背诵）第一步：计算两组数据的平均数，对比平均水平；第二步：计算两组数据的方差，对比波动大小；第三步：结合题意下结论：①

平均数相同、方差小：数据更稳定，发挥更平稳，推荐选择；②

平均数不同：优先选择平均数更高的一组，兼顾稳定性。五、高频易错扣分点1.不对比平均数，直接凭方差下结论（逻辑不完整，必扣分）；2.概念混淆：误以为方差越大越优秀；3.答题缺少文字说明，只写数据，没有总结性话术；4.忽略特殊场景：部分冲刺选拔题，方差大代表潜力大。---【经典满分例题】例题1：常规稳定选拔（必考真题）甲乙两名同学5次数学测试成绩：甲：88、90、92、89、91乙：85、95、90、88、92经计算：$$\bar{x}_甲=90，\bar{x}_乙=90$$，$$S^2_甲=2，S^2_乙=10.4$$请分析谁的成绩更好，适合参加竞赛。解：①

平均水平：甲乙平均分相等，整体水平一致；②

稳定性：$$S^2_甲<S^2_乙$$，甲的成绩波动更小；③

结论：甲的成绩更稳定，发挥更平稳，更适合参加竞赛。例题2：产品质量应用甲乙两台机器生产同一种零件，零件标准尺寸为10mm，两台机器产品平均数均为10mm，方差分别为$$S^2_甲=0.01$$，$$S^2_乙=0.05$$，哪台机器生产质量更好？解：甲乙产品平均尺寸均符合标准，$$S^2_甲<S^2_乙$$；甲机器产品波动更小，尺寸更整齐，误差更小；∴甲机器生产质量更好、更稳定。例题3：平均数不同的综合判断甲平均分92，方差3；乙平均分90，方差1.5。结论：甲平均水平更高，整体成绩更优；乙成绩更稳定。选拔优生选甲，选拔稳定选手选乙。---【同步专项练习题】一、填空题（基础概念）1.平均数反映数据的________，方差反映数据的________。2.平均数相同时，方差越小，数据越________。3.产品质量检测中，方差越小，代表产品误差越________，质量越稳定。二、解答题（规范答题）1.甲乙两名射击运动员射击成绩平均数相同，$$S^2_甲=0.3$$，$$S^2_乙=0.8$$，请问应该选派谁参加比赛？说明理由。2.甲乙两名学生五次英语成绩：甲：82、84、85、86、88乙：79、83、86、87、90已知两人平均分相同，甲方差小于乙方差，请分析两人成绩特点，推荐参赛人选。三、拓展应用题工厂有A、B两台设备生产配件，均值均为标准值，$$S^2_A=0.02$$，$$S^2_B=0.08$$，长期生产应选用哪台设备？为什么？---【参考答案与解析】一、填空题1.平均水平、波动程度（稳定性）2.稳定3.小二、解答题1.解：选派甲参赛。理由：甲乙平均射击水平相同，$$S^2_甲<S^2_乙$$，甲的射击成绩波动更小，发挥更稳定，更适合参赛。2.解：甲乙两人平均成绩一致，甲的方差更小，成绩波动小、分数整齐稳定；乙的方差大，成绩起伏大、不稳定。结论：推荐甲参赛，成绩更稳定，发挥更可靠。三、拓展应用题解：选用A设备。两台设备生产的配件平均尺寸均达标，A设备方差更小，产品尺寸波动小、误差小，生产质量更稳定，适合长期生产。【本节满分总结】1.做题核心：先比平均，再比方差，缺一不可；2.常规选拔：均值相同，方差小=稳定、优秀、质量好；3.答题套路：均值对比+方差对比+稳定性结论；4.方差应用全覆盖：成绩、体育、工业质量、数据评价。经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法，发展数据观念.通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系．某日，A，B两地的气温如图所示.知识点1数据的分组(1)不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点.A地的日温差较大，B地的日温差较小，但平均气温相近.知识点1数据的分组(2)分别计算这一天A，B两地气温的平均数和方差，与你刚才的看法一致吗?A地24时气温(单位：℃)分别是18，17.5，17，16，16.5，18，19，20.5，22，23，23.5，24，25，25.5，24.5，23，22，20.5，20，19.5，19.5，19，18.5，18.B地24时气温(单位：℃)分别是20，19.5，19，18，19，19.5，20.5，22，22.5，23，23，23.5，24，24，23，22.5，22.5，22，21.5，21，21.5，20.5，20.5，20.知识点1数据的分组

知识点1数据的分组某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛.在最近的10次选拔赛中，他们的成绩(单位：cm)如下：知识点1数据的分组12345678910甲585596610598612597604600613601乙613618580574618593585590598624(1)甲、乙的平均成绩分别是多少?(1)甲的平均成绩为601.6cm，乙的平均成绩为599.3cm.知识点1数据的分组12345678910甲585596610598612597604600613601乙613618580574618593585590598624(2)甲、乙这10次选拔赛成绩的方差分别是多少?(2)甲这10次比赛的方差为65.84，乙这10次比赛的方差为284.21.知识点1数据的分组12345678910甲585596610598612597604600613601乙613618580574618593585590598624(3)这两名运动员的选拔赛成绩各有什么特点?(3)甲这10次的平均成绩更好，成绩更稳定，但没有单次超过615cm的成绩，乙这10次成绩不稳定，但有3次超过615cm的好成绩，其中有1次可以达到624cm.知识点1数据的分组12345678910甲585596610598612597604600613601乙613618580574618593585590598624(4)历届比赛成绩表明，成绩达到5.96m就很有可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛?如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢?

(4)为了夺冠应该选甲参加比赛，甲10次中有9次成绩达到5.96m，而乙只有5次.为了破纪录应该选乙参加比赛，甲10次中有3次成绩达到6.10m，而乙有4次且乙有6.24m的成绩.知识点1数据的分组方差越小表示这组数据越稳定，但依据统计量进行数据的分析，比较和判断的时候，依据不同的统计量，得到的结果不一定相同，不要认为方差小的成绩就好，应根据实际问题进行分析推断.知识点1数据的分组10个苹果的直径如图所示.(1)若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分?说说你分组的理由.知识点1数据的分组知识点1数据的分组第一组苹果编号1、3、4、7；第二组苹果编号2、5、6、8、9、10.理由是将直径数值集中在一定范围、较为接近的苹果分为一组，使每组内苹果“个头”(直径)差不多.(2)一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则?

在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”.多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和.知识点1数据的分组例1按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把上述的10个苹果按直径大小分成两组.解：将10个数据由小到大排序：65，69，70，75，76，76，78，80，80，81.把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69，…，81}；第一组2个数据{65，69}，第二组8个数据{70，…81}；……；第一组9个数据{65，…，80}，第二组1个数据{81}.知识点1数据的分组以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和.其中，第一组有2个数据{65，69}，这2个数据的平均数是67，故第一组数据的组内离差平方和S21=(65-67)2+(69-67)2=8；第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80，80，81}，这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和S22=(70-77)2+(75-77)2+…+(81-77)2=90.因此，第2种分组情况的组内离差平方和S23=S21+S22=8+90=98.知识点1数据的分组同理，计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下：知识点1数据的分组分组情况组内离差平方和第一组1个，第二组9个146.889第一组2个，第二组8个98第一组3个，第二组7个48第一组4个，第二组6个74.25第一组5个，第二组5个98第一组6个，第二组4个107.583第一组7个，第三组3个136.095第一组8个，第二组2个182.375第一组9个，第二组1个218计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小.因此，把10个苹果按直径大小分成的两组是{65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}.知识点1数据的分组知识点1方差的应用1.［2025泸州］某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择(

)A.甲 B.乙C.丙 D.丁返回

甲乙丙丁平均数/个205217208217方差4.64.66.99.6B

返回＞知识点2数据的分组3.将数据分为两组时，组内离差平方和越小，说明(

)A.两组数据的平均数差距越大B.每组数据内部越集中C.数据的总数越少D.中位数越接近平均数返回B4.［2026郑州期中］把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是(

)A.{2}，{4，8，10，12}

B.{2，4}，{8，10，12}C.{2，4，8}，{10，12}

D.{2，4，8，10}，{12}返回B5.某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程队员工月工资的方差

.(填“变小”“不变”或“变大”)返回工种人数每人每月工资/元电工57000木工46000瓦工55000变大【点拨】因为减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，所以这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工月工资的方差变大.返回工种人数每人每月工资/元电工57000木工46000瓦工55000

返回

第1场第2场第3场第4场第5场第6场平均数甲成绩/(次/min)879491859192m乙成绩/(次/min)879887891008591(1)m＝

.返回

第1场第2场第3场第4场第5场第6场平均数甲成绩/(次/min)879491859192m乙成绩/(次/min)87988789100859190

第1场第2场第3场第4场第5场第6场平均数甲成绩/(次/min)879491859192m乙成绩/(次/min)879887891008591

返回(3)分别从平均数和方差的角度分析比较甲、乙的成绩.返回

第1场第2场第3场第4场第5场第6场平均数甲成绩/(次/min)879491859192m乙成绩/(次/min)879887891008591【解】从平均数看，乙成绩的平均数大于甲成绩的平均数，说明乙成绩的平均水平比甲高；从方差看，甲成绩的方差小于乙成绩的方差，说明甲的成绩比乙更稳定.(4)经查阅该校以往本项比赛的资料可知：①成绩若达到90次/min，就有可能夺得冠军，你认为选谁参赛更有把握夺冠？为什么？返回

第1场第2