【九相永磁同步电动机的数学建模分析4300字】

九相永磁同步电动机的数学建模分析目录TOC\o"1-3"\h\u12525九相永磁同步电动机的数学建模分析 1214691.1九相永磁同步电动机在自然坐标系中的数学模型 137831.1.1永磁同步电动机的定子绕组分布 2245871.1.2自然坐标系下的数学模型 3242301.2电机的旋转变换矩阵 4251711.1.1旋转坐标变换 453121.1.2九相永磁同步电动机的旋转坐标变换矩阵 6208091.3旋转坐标系下的数学模型 8152781.4电机本体仿真 10各种控制理论和算法的研究都是以合理准确的数学模型为基础，对于多相电机控制系统的研究，首先应根据电机绕组的分布样式等因素来确定其坐标变换矩阵等参数，以此来建立其准确的数学模型。本章首先对多相电机的绕组分布进行了简要介绍，同时列写了九相永磁同步电动机在自然坐标系下的数学模型，并对传统三相解耦坐标变换的基本理论进行阐述，在其基础上推导了适用于九相电机的扩展变换矩阵，以此建立基于旋转坐标系的九相永磁同步电动机数学模型。1.1九相永磁同步电动机在自然坐标系中的数学模型永磁同步电机按照转子永磁体安装方式的不同，可大致分为表贴式和内置式两种，如图2-1中(a)(b)所示。表贴式永磁同步电动机是利用粘剂将永磁体固定在转子表面，因永磁体的相对磁导率近似接近于空气，所以气隙分布均匀，结构较为简单，一般称为隐极式电机。若将永磁体嵌入转子内部则称其为内置式永磁电机，这种结构造成其磁路不对称导致转子气隙不均匀，使其相对于前者较为复杂，称为凸极式电机[31]。本文的研究对象是转子结构如图2-1(c)所示的表贴式偏心削极磁极的九相永磁同步电动机。(a)表贴式结构(b)内置式结构(c)表贴式偏心削极结构图2-1PMSM转子结构剖面图1.1.1永磁同步电动机的定子绕组分布由于多相电机绕组数量增多，其分布样式与结构更加多样。依据定子绕组分布对称结构方式的不同可具体分为全对称与半对称分布。全对称分布的特点是绕组星型连接同一个中性点，各相定子绕组之间互差2kπ/n电角度(其中k=1，2，…，n)。而半对称分布的绕组其结构一般是由m套对称分布的绕组构成，整体具有m个中性点，所以各套分绕组在空间上互差π/3m电角度[6]，几种典型的多相电机绕组分布结构如表2-1所示。表2-1多相电机相数与绕组结构六相九相十二相十五相全对称半对称本文研究对象是半对称分布的开绕组九相永磁同步电动机，其绕组具体分布示意图如图2-2所示。图2-2九相绕组空间相位关系1.1.2自然坐标系下的数学模型为了研究九相永磁同步电动机在同步旋转坐标系下的控制策略，必须首先对其在自然坐标系下的定子电压方程和转矩方程等进行分析。建立九相永磁同步电动机自然坐标系下的数学模型主要基于以下假设：1)定子各相绕组电阻相等，绕组结构相同；2)忽略定子铁芯磁滞和涡流影响；3)忽略定子导体集肤效应；4)不考虑永磁体涡流等次要因素。九相永磁电机自然坐标系下的定子电压方程、磁链方程、转矩方程和转子运动方程如下所示：(2-1)(2-2)(2-3)(2-4)其中，θ为转子位置角；R为定子绕组电阻构成的对角矩阵；为定子绕组构成的电感矩阵；Te、TL分别为电磁转矩和负载转矩；J为系统的转动惯量,Bm为摩擦系数;ωm为转子机械角速度；np为电机极对数；为定子相电压向量；为定子相电流向量；为定子绕组磁链向量；为永磁体磁链向量。1.2电机的旋转变换矩阵因永磁电机多变量，强耦合等特点，其自然坐标系下的数学模型不易直接实现控制算法的研究，故在电机自然坐标系下数学模型的基础上，通过旋转坐标变换对模型进行简化，使其易于分析。对于多相电机来说，类似的旋转坐标变换是基于相同物理意义的前提下上实现的。其具体过程是先将自然坐标系下具有耦合关系的多相电机的相关矢量通过Clark变换投影到αk-βk坐标系下，上述投影过程可将多相电机等效为多台两相交流电机。在经Clark变换后的电机模型基础上，再利用高阶的同步旋转变换矩阵，进一步将投影后的矢量解耦变换至同步旋转坐标系下。经过上述两步操作，强耦合的多相电机模型就由多台直流电机模型等效。依据三相电机同步旋转变换的基本思想，多相电机经旋转坐标变换后可以得到各谐波子平面对应的idk、iqk[8]。基于上述阐述，通过介绍三相电机的解耦坐标变换过程，依据其基本思路构造九相永磁同步电动机的变换矩阵，进而建立其基于同步旋转坐标系下的电机模型。1.1.1旋转坐标变换首先，模拟三相电机在自然坐标系下绕组模型，分别在对称分布的绕组a、b、c中通入三相平衡的正弦电流ia、ib、ic，就可以在气隙中产生呈现正弦分布的合成磁矢量F，并以电机同步转速的速度以a-b-c的相序逆时针旋转。其绕组模型示意图如图2-3(a)所示。(a)三相交流绕组模型(b)等效两相交流绕组模型(c)等效旋转直流绕组模型图2-3等效的交流电机绕组和直流绕组模型将电机静止的定子三相绕组等效投影变换为如图2-3(b)所示的一组静止正交绕组，同时把a轴所处的空间位置定为α轴，在逆时针超前α轴90°的位置规定为β轴。通过变换，就可以计算出投影至静止两相坐标系下新的电压、电流、电感等电机参数。上述过程就是电机的Clark变换过程，进而可以得到其变换矩阵如下所示。(2-5)上文构建的电机在静止两相交流模型下，气隙的合磁势F还是以相同电角速度旋转的，电机的各物理量也是交变的，依然不利于进一步的建模分析。此时若考虑将两相静止的坐标轴以相同的速度旋转，与合成磁势保持相对静止，同时将d轴位置设为转子永磁体磁极轴线位置，q轴位置设置为与转子永磁体轴线相垂直，逆时针方向超前d轴90°[43]。通过上述解耦变换过程就可以将等效的两相交流电机数学模型变换到d-q旋转坐标系下等效的直流电机模型,进而可以得到其变换矩阵如下所示。(2-6)上述Park变换和Clark变换解耦过程可以将自然坐标系下的三相永磁同步电动机等效为一台如图2-3(c)所示的直流电机。在电机稳定运行状态下iq和id都是直流量，分别对应于来控制电机的电磁转矩和磁场强度。可以说明的是，整个坐标变换的过程仅仅是数学过程的处理，所构建的等效直流模型与真正的直流电动机是不同的，对应旋转坐标系下直轴与交轴的直流量是电机定子电流经解耦计算之后得到，同时转子永磁体产生的磁通在整个过程不受影响。1.1.2九相永磁同步电动机的旋转坐标变换矩阵九相永磁同步电动机在自然坐标系下的方程是一个多变量、强耦合的方程组，就造成根据这样复杂的数学模型直接对其控制策略进行研究是相当困难的。但是，根据三相电机通过三相旋转坐标变换矩阵将电机的磁链和转矩分别列写为两组独立的方程，在此基础上可以实现对电机进行解耦控制。根据这种思路，利用九相旋转坐标变换矩阵可以将九相永磁电机解耦至4个相互独立的控制平面上，再分别在各个子平面对电机的磁链和转矩进行控制。因此对九相永磁同步电动机进行控制等分析计算的首要步骤就是建立其在旋转坐标系下的电机模型。参照矢量空间解耦方法中坐标变换的选取，按照等幅值不变的原则，可得九相永磁同步电机由自然坐标系到静止坐标系的变换矩阵：(2-7)从物理意义上出发，多相电机的旋转坐标变换是将在自然坐标系下参与电机机电能量转换的电压、电流、磁链等物理量变换到旋转坐标系的过程。所以，对于多相电机来说在解耦变换过程中其谐波平面的变换形式与基波平面的形式相同。同时，对应其余谐波平面来说，其相应的旋转角度要与对应谐波平面内谐波次数最低的旋转角度相同。根据上述描述就可以推导出半对称九相永磁电机由静止坐标系到的同步旋转变换矩阵：(2-8)因此，由式(2-7)和(2-8)可以得到九相永磁同步电动机的扩展Park矩阵：(2-9)对于九相永磁同步电动机，由扩展Park变换矩阵可将九相系统分解至4个相互解耦的子平面，分别为d1-q1子平面、d3-q3子平面、d5-q5子平面和d7-q7子平面，其基波子平面如图2-4所示，ω为电机同步转速。图2-4解耦后基波子平面下的参考坐标系式(2-9)中前两行对应d1-q1子平面一般也称为基波子平面，参与坐标变换的电机各变量中基波量和18k±1次谐波量投影至此平面并在电机气隙中产生旋转磁势，同时参与能量转换；第三四行对应的是d3-q3子平面一般称为三次谐波子平面，18k±3次谐波量投影至此空间；以此类推可以得知，第五六行对应的是五次谐波子平面；第七八行对应的是七次谐波子平面；同时第九行对应零序分量子平面。本文主要研究基于电机基波子平面下的电机运行情况。1.3旋转坐标系下的数学模型在上一节推导得到的九相永磁同步电动机旋转变换矩阵的基础上，利用此旋转变换矩阵可将其基于自然坐标系下所列写的电压方程、磁链方程等解耦至相应的同步旋转坐标系下。定子电压方程：(2-10)式中，udq为定子d-q轴电压向量，；idq为定子d-q轴电流向量，；ψdq为d-q轴磁链向量。(2-11)定子磁链方程：(2-12)永磁体与定子绕组交链的磁链：(2-13)式中，ψm为永磁体磁链幅值。电感矩阵为：(2-14)将式(2-11)、(2-13)和式(2-14)代入式(2-10)中，就可以得到旋转坐标系下的定子电压方程。(2-15)从式(2-15)可以看出在基波坐标平面d1-q1下坐标变换后等效dq绕组的电压方程是由三个部分组成：其中基波平面电机等效绕组中的直轴和交轴电流id1和iq1在其自身绕组产生的电阻压降为Rsid1和Rsiq1；以及d1-q1坐标系下横轴和纵轴等效绕组中磁链变化产生的电动势Ld1did1/dt和Lq1diq1/dt；还有电机转子旋转时在基波平面的等效绕组中感应产生的旋转电动势-ωLq1iq1和ωLd1id1+ωψm。根据上述规律同样可以推导出其余坐标平面下电压方程的电压分量。根据电机学中的虚位移法，在电流约束为恒值时，电磁转矩等于磁共能W对转角的偏导数，就可以得到电磁转矩的方程[5]：(2-16)通过式(2-16)可以看出电机的合成转矩是由基波平面的分量和其他各谐波平面的分量共同组成。表明经过解耦旋转坐标变换之后的九相永磁同步电动机被等效为4台三相电机，其基波平面的参数被等效为一台np对极的三相电机。1.4电机本体仿真为验证上一节所建电机数学模型是否准确，在MATLAB/Simulink中搭建了九相永磁同步电动机的本体仿真模型如图2-5所示。电机参数由表2-2给出。表2-2九相永磁同步电动机参数参数数值单位额定转速额定频率额定功率额定电压定子电阻9006092341.47r/minHzkWVΩ定子同步电感0.041H永磁体磁链0.852Wb转动惯量0.031kg·m2摩擦系数极对数0.14N·m·s—九相永磁同步电动机本体仿真模块由电压计算模块，磁链计算模块，转矩和运动模块组成。图2-5九相永磁同步电动机本体仿真模型基于前文分析的定子绕组结构，分别向电机各套绕组通入相位相差π/9电角度的三相正弦相电压，电压有效值UN=234V，仿真时间设置为1s，并在0.55s时施加额定负载转矩TL=95.5N·m。电机在0.2s时起动过程结束，图2-6至图2-8中的(a)绘制了电机起动过程结束后，稳定运行时定子a1相电流、转矩和转速波形图。图2-6至图2-8中的(b)绘制了电机施加负载后至稳定阶段各量波形。(a)空载电流(b)额定负载电流图2-6定子a1相电流波形(a)空载转矩(b)额定负载转矩图2-7转矩波