材料力学（I）（第5版）课件 ch8 应力应变状态分析

第

8

章应力应变状态分析单辉祖编著：材料力学Ⅰ单辉祖：材料力学Ⅰ1第

8

章应力应变状态分析

本章主要研究：

应力状态分析基本理论

应变状态分析基本理论

应力应变一般关系

平面应力状态应力电测

复杂应力状态应变能

复合材料应力应变关系简介单辉祖：材料力学Ⅰ2

§1

引言

§2

平面应力分析

§3

应力圆

§4

极值应力与主应力

§5

复杂应力状态的最大应力

§6

平面应变分析

§7

广义胡克定律

§8

电测应力与应变花

§9

复杂应力状态应变能

§10

复合材料应力应变关系简介单辉祖：材料力学Ⅰ3§1

引言

实例

应力与应变状态

平面与空间应力状态单辉祖：材料力学Ⅰ4

实例微体A

单辉祖：材料力学Ⅰ5单辉祖：材料力学Ⅰ6

应力与应变状态构件内一点处所有微截面的应力总况或集合，称为该点处的应力状态应力状态应变状态构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合,称为该点处的应变状态研究方法环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态研究目的研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础单辉祖：材料力学Ⅰ7

平面与空间应力状态仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面－平面应力状态平面应力状态的一般形式微体各侧面均作用有应力－空间应力状态空间应力状态一般形式单辉祖：材料力学Ⅰ8§2

平面应力分析

斜截面应力分析

例题单辉祖：材料力学Ⅰ9

斜截面应力分析问题：建立sa

,

ta

与sx

,

tx

,sy

,

ty

间的关系问题正负符号规定：

方位角

a－以x轴为始边、者为正

切应力t－以企图使微体沿旋转者为正方位用a

表示；应力为

sa

,

ta斜截面：//z

轴；单辉祖：材料力学Ⅰ10斜截面应力公式单辉祖：材料力学Ⅰ11由于tx

与

ty

数值相等，同时上述关系建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题单辉祖：材料力学Ⅰ12

例题例题

计算截面

m-m

上的应力解：单辉祖：材料力学Ⅰ13§3

应力圆

应力圆

应力圆的绘制与应用

例题单辉祖：材料力学Ⅰ14

应力圆应力圆原理在s-t坐标面内，sa与ta的关系曲线为圆,称为应力圆圆心位于s

轴单辉祖：材料力学Ⅰ15应力圆的绘制结论：所画圆，确为所求应力圆问题

：画相应应力圆作图法：由坐标(sx,tx)与(sy,ty)确定D与E点；以DE为直径画圆单辉祖：材料力学Ⅰ16应力圆求a截面应力同理可证：画相应应力圆D点对应x截面D点转2a得H点，即

a截面证明：单辉祖：材料力学Ⅰ17点、面对应关系

转向相同,转角加倍

互垂截面,对应同一直径两端应力圆上的a点

~

微体中的截面A应力圆上的b点

~

微体中的截面B单辉祖：材料力学Ⅰ18例题

利用应力圆求截面

m-m

上的应力解：1.画应力圆2.由应力圆求sm与tmA点对应截面

x,B点对应截面

y由A点（截面

x）顺时针转60o至D点（截面

m-m）

例题单辉祖：材料力学Ⅰ19§4

极值应力与主应力

平面应力状态的极值应力

主平面与主应力

主应力迹线

例题单辉祖：材料力学Ⅰ20

平面应力状态的极值应力极值应力大小单辉祖：材料力学Ⅰ21极值应力方位

极值正应力方位：smax与smin所在截面正交t极值与s极值所在截面,成45°

夹角上式有两个解,且相差90°应力圆:D到A,-2a0：微体:x截面到smax截面,-a0

极值切应力方位：单辉祖：材料力学Ⅰ22

主平面与主应力主平面－切应力为零的截面微体不受力表面切应力为零,也是主平面主应力－主平面上的正应力主应力符号与规定－主平面微体－相邻主平面相互垂直,构成一正六面形微体（按代数值）s1s2s3单辉祖：材料力学Ⅰ23应力状态分类

单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态

二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态

三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态二向与三向应力状态，统称复杂应力状态单辉祖：材料力学Ⅰ24

主应力迹线－

主拉应力迹线－主压应力迹线钢筋主要沿主拉应力迹线排列单辉祖：材料力学Ⅰ25

例题解：1.主应力大小与方位角

例题

图示应力状态，试确定主应力的大小与方位单辉祖：材料力学Ⅰ262.主应力方位判断

由坐标（-70,50）与（0,-50）确定D与E点sA=s1，sB=s3

以DE为直径画圆

D点对应x截面，A点对应主平面s1a01对应主应力s1方位单辉祖：材料力学Ⅰ27§5

复杂应力状态的最大应力

三向应力圆

最大应力

例题单辉祖：材料力学Ⅰ28

三向应力圆与任一截面相对应的点，位于应力圆上，或由应力圆所构成的阴影区域内单辉祖：材料力学Ⅰ29

最大应力最大切应力位于与

s1及

s3均成45

的截面上单辉祖：材料力学Ⅰ30

例题例题

已知

sx

=80MPa，tx

=35MPa，sy

=20MPa，sz

=－40MPa，求主应力、最大正应力与最大切应力解：sz

z平面为主平面,对应E点

由(sx,tx)与(sy,ty)

由E,D与C,画三向应力圆画应力圆,得D与C单辉祖：材料力学Ⅰ31例题

图示纯剪切状态，试求最大正应力与最大切应力,并对圆轴扭转失效进行分析。主平面微体位于45°方位解：1.纯剪切应力分析由O,A,B三点,画三向应力圆单辉祖：材料力学Ⅰ322.圆轴扭转失效分析滑移与剪断发生在tmax的作用面断裂发生在smax

作用面单辉祖：材料力学Ⅰ33§6

平面应变分析

平面应变状态

任意方位的应变

应变圆

最大应变与主应变单辉祖：材料力学Ⅰ34

平面应变状态构件内一点处的变形均发生在同一平面内时的应变状态，称为平面应变状态单辉祖：材料力学Ⅰ35

任意方位的应变要求：已知应变ex,ey与gxy

,求a方位的应变ea与ga

使左下直角增大之

g为正规定：

方位角

a

以

x轴为始边,

为正方法：先分析ex,

ey与gxy分别引起的变形,然后相叠加问题单辉祖：材料力学Ⅰ36应变与角位移分析单辉祖：材料力学Ⅰ37应变ea与ga公式单辉祖：材料力学Ⅰ38上述分析建立在几何关系基础上,所得各公式适用于任何小变形问题,而与材料的力学特性无关。结论

一点处任意方位应变：

一点处互垂方位的应变：单辉祖：材料力学Ⅰ39

应变圆单辉祖：材料力学Ⅰ40

最大应变与主应变切应变为零方位的正应变－主应变主应变位于互垂方位主应变表示：e1

e2

e3单辉祖：材料力学Ⅰ41§7

广义胡克定律

平面应力胡克定律

三向应力胡克定律

主应力与主应变的关系

例题单辉祖：材料力学Ⅰ42

平面应力胡克定律适用范围：各向同性材料，线弹性范围内单辉祖：材料力学Ⅰ43平面与三向应力胡克定律，统称为广义胡克定律

三向应力胡克定律单辉祖：材料力学Ⅰ44

主应力与主应变的关系

当切应力为零时,相应切应变也为零,因此,

最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位

最大拉应变发生在最大拉应力方位如果

s10，且因

m<1/2，则主应变与主应力的方位重合单辉祖：材料力学Ⅰ45

例题例题

已知

E

=

70

GPa,m=

0.33,

求

e45。解：1.应力分析2.e45。计算单辉祖：材料力学Ⅰ46例题

对于各向同性材料，试证明：证：1.利用几何关系求e45。2.利用广义胡克定律求e45。3.比较单辉祖：材料力学Ⅰ47例题

边长

a

=10

mm正方形钢块,置槽形刚体内,

m

=

0.3,F

=

8

kN，m

=

0.3，求钢块的主应力。解：单辉祖：材料力学Ⅰ48例题圆柱体在刚性圆柱形凹模中承受压应力s作用,已知柱径d、

柱长l、E与m,试计算圆柱体的轴向变形。解：于是得圆柱体的轴向变形为

径向微体应力图设圆柱体侧表压应力为

p，则圆柱体的径向变形为

圆柱体横截面的正应力为

单辉祖：材料力学Ⅰ49§8

电测应力与应变花

应力分析电测方法

应变花

例题单辉祖：材料力学Ⅰ50

应力分析电测方法构件表层应力一般情况（无表面力)要确定三未知应力，需贴三应变片单辉祖：材料力学Ⅰ51

应变花三轴直角应变花三轴等角应变花单辉祖：材料力学Ⅰ52

例题解：根据广义胡克定律,得根据剪切胡克定律,于是得例题

在O点表明测得应变,已知弹性常数E

与m,试求该点处的应力sx,

sy与tx。单辉祖：材料力学Ⅰ53§9

复杂应力状态应变能

应变能密度一般表达式

体应变

畸变能密度单辉祖：材料力学Ⅰ54

应变能密度一般表达式单位体积内的应变能－应变能密度单辉祖：材料力学Ⅰ55

体应变微体的体积变化率－体应变单辉祖：材料力学Ⅰ56

畸变能密度体积改变形状不变相应应变能密度畸变能密度

vd体积不变形状改变单辉祖：材料力学Ⅰ57§10

复合材料应力应变关系简介

正轴应力应变关系

偏轴力学特性单辉祖：材