2027《金版教程》大一轮数学基础版第2章 第2节　基本不等式

第二章一元二次函数、方程和不等式第二节基本不等式课标解读考向预测1.掌握基本不等式.2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.基本不等式是高考考查的重点，基本不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式.从近几年高考来看，基本不等式考查的内容、频率、题型难度均变化不大.2027年备考仍以选择题、解答题为主，重点关注利用基本不等式进行大小判断、与解三角形、圆锥曲线、导数等知识相结合求最值或求取值范围的问题.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础a>0，b>0a＝b≥≥a＝b≥≤3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当______时，和x＋y有最小值_____.(简记：积定和最小)(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当______时，积xy有最大值_____.(简记：和定积最大)注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.x＝yx＝y√×√×(4)(人教A必修第一册习题2.2T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是_____.(5)(人教A必修第一册复习参考题2T5改编)已知a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为____________.[9，＋∞)考点探究提素养考点一基本不等式的理解及常见变形考点二利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1配凑法求最值配凑法求最值的关键点考向2常数代换法求最值常数代换法求最值的基本步骤5.已知实数a，b满足lga＋lgb＝lg(a＋2b)，则2a＋b的最小值是(

)A.5B.9C.13 D.188考向3消元法、换元法求最值当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.7.设a≥0，b≥0，且2＋b＝1，则的最小值为______.0考向4

“和”“积”互化求最值“和”“积”互化求最值的方法(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值.(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题.9.已知x>0，y>0，且满足4x2＋9y2＋6xy－3＝0，则2x＋3y的最大值为________.2考点三基本不等式的综合应用(1)利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围.(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致.考点四基本不等式的实际应用在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，则估算平整完这块矩形场地所需的最少费用(单位：元)是(

)A.10000B.10480C.10816 D.10818利用基本不等式解决实际应用问题的技巧12.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为mg，则(

)A.m>10 B.m＝10C.m<10 D.以上都有可能课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★考点基本不等式成立的条件配凑法求最值“和”“积”互化求最值常数代换法求最值基本不等式的实际应用利用基本不等式求参数的最值换元法求最值“和”“积”互化求最值题号9101112131415难度★★★★★★★★★★★考点基本不等式成立的条件“和”“积”互化、消元法、常数代换法求最值利用几何图形证明不等式配凑法求最值常数代换法求最值“和”“积”互化求最值“和”“积”互化求最值题号1617181920难度★★★★★★★★★★★★考点常数代换法求最值“和”“积”互化求最值；配凑法、消元法、常数代换法求最值“和”“积”互化、常数代换法求最值配凑法求最值基本不等式的实际应用；消元法、配凑法求最值5.已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1，a2，则(

)A.a1＝a2 B.a1<a2C.a1>a2 D.a1，a2的大小无法确定34220.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底面宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱的底面长