第四单元第3讲图形的全等

第四单元图形的认识第3讲图形的全等

汕头市初中毕业生学业考试备考课题组【知识回想】知识回想典例精析

课堂演习课后训练

小结1．图形的全等：全等形的概念：能够

的两个图形叫做全等形．全等三角形的概念：能够

的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质：（1）全等三角形对应

相等，对应

相等．（2）全等三角形的对应线段（

、

、

）相等，周长相等，面积相等．完全重叠完全重叠边角角平分线中线高【知识回想】3．三角形全等的鉴定：（1）三边对应相等的两个三角形全等（简写成“”或“”）．（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“”或“”）．（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“”或“”）．（4）两个角和其中一种角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“”或“”）．（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“”或“”）．边边边SSS边角边SAS角边角ASA角角边AAS斜边、直角边HL知识回想典例精析

课堂演习课后训练

小结【典例精析

】

例1.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90º,AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE

证明:选延长CE、BA相交于F∵BE平分∠ABC∴∠1=∠2∵CE⊥BE∴∠BEF=∠BEC=90º∵BE=BE∴△BEF≌△BEC

∴∠1=∠3∵∠BAC=90º∴∠BAD=∠CAF=90º∵AB=AC∴△ABD≌△ACF∴BD=CF

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课堂演习课后训练

小结∵∠1+∠F=90º,∠3+∠F=90º

F【典例精析

】

例2.已知：如图，分别以△ABC

的边AB、AC、BC为边向外作

等边△ABD，△ACF，△BCE

求证：AE=BF=CD．

证明:∵△ABD、△ACF都是等边三角形∴∠1=∠2=60°∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC即∠DAC=∠BAF∵AD=AB，AC=AF∴△ADC≌△ABF∴CD=BF同理△BAE≌△BDC∴CD=AE∴AE=BF=CD

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课堂演习课后训练

小结21

E

B

C

D

F

A

【典例精析

】

例３：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图（1）所示放置，图（2）是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图中的全等三角形，并予以证明（阐明：结论中不得含有未标记的字母）（2）证明：DC⊥BE(1)解:△ABE≌△ACD,证明以下：∵△ABC与△AED均为

等腰直角三角形∴AB=AC，AE=AD，

∠BAC=∠EAD=90°∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE即∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD(2)证明:由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD=∠ABE=45°又∠ACB=45°∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°∴DC⊥BE．知识回想典例精析

课堂演习课后训练

小结【课堂演习】1.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不对的的是()A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBDD.AD∥BC，且AD＝BC2.在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一种角是100º，那么在△ABC中与这100º角对应相等的角是()A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=2cm，则BC的长等于（）A.8cmB.6cmC.4cmD.2cmCAB知识回想典例精析

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小结第1题图D

A

B

C

【课堂演习】4.如图所示，婕婕书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快她就根据所学知识画出一种与书上完全同样的三角形，那么这两个三角形完全同样的根据是()A.SSSB.SASC.AASD.ASA5.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,过B作BE⊥AD于E,过E作EF//AC交AB于F,则()A.AF＝2BFB.AF＝BFC.AF＞BFD.AF＜BFDB知识回想典例精析

课堂演习课后训练

小结6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45º，则这个等腰三角形的底角为（）A.67ºB.67.5ºC.67.5º或22.5ºD.22.5ºC第4题图【课堂演习】*8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连结BE，且BE平分∠ABC，则下列命题不对的的个数是()①BC+AD=AB;②E为CD中点;③∠AEB=90º;

④S△ABE=S四边形ABCD；⑤BC=CEA．0个B．1个C．2个D．3个AB知识回想典例精析

课堂演习课后训练

小结EDCBA7.如图，已知边长为5的等边△ABC纸片，点E在AC上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是()

第10题图【课堂演习】9.(2012•绵阳)如图所示，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC,则应添加的一种条件为.(答案不唯一，只需填一种)10.(2012•台州)如图,将正方形ABCD沿BE对折,使点A落在对角线BD上的A’处，连接A’C，则∠BA’C=

度．

AC=CD等

67.5

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小结E

D

C

B

A

1

2第9题图【课堂演习】13.如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若DE=4，则BD+CE=_______．12.在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=7,BC=24,AB=25,P为三内角平分线交点，则点P到各边的距离都等于

．43知识回想典例精析

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小结11.如图,△ABC中,∠C=90º,AM平分∠CAB，BC=16cm，CM:MB=3:5，则点M到AB的距离是_______．6cm

第11题图【课堂演习】14.(2012•随州)如图,在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证:(1)△ABD≌△ACD；(2)BE=CE．

证明:(1)在△ABD和△ACD中∵D是BC的中点∴BD=CD∵AB=AC，AD=AD∴△ABD≌△ACD(2)由(1)知△ABD≌△ACD∴∠BAD=∠CAD即∠BAE=∠CAE∵AB=AC，AE=AE∴在△ABE≌△ACE∴BE=CE

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小结A

E

C

D

B

【课堂演习】15.(2012•云南)如图,在△ABC中,∠C=90º,点D是AB边上的一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME//BC交AB于点E．求证：△ABC≌△MED．证明:∵ME∥BC∴∠DEM=∠B∵DM⊥AB∴∠MDE=∠C=90°∵DM=AC∴△ABC≌△MED

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小结ABCDEM【课堂演习】*16.如图(1)所示,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,直线AN、MC交于点E，直线BM、NC交于点F．(1)求证:AN=BM；(2)求证:△CEF为等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90º，其它条件不变，在图(2)中补出符合规定的图形，并判断第(1)(2)两小题的结论与否仍然成立.（不规定证明）．（1）（2）知识回想典例精析

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小结证明:(1)∵△ACM、△BCN都是等边三角形∴AC=MC，NC=BC,∠ACM=∠NCB=60º∴∠ACM+∠1=∠NCB+∠1即∠ACN=∠MCB∴△ANC≌△MBC∴AN=BM(2)∵∠ACM+∠NCB+∠1=180º

∠ACM=∠NCB=60º∴∠1=60º∴∠NCB=∠1∵△ANC≌△MBC∴∠CNE=∠CBF∵CN=BC∴△NCE≌△BCF∴CE=CF∴△CEF是等边三角形（1）知识回想典例精析

课堂演习课后训练

小结(3)补画出图形如图所示,AN=BM仍然成立,△CEF为等边三角形不成立．证明:(1)∵△ACM、△CBN是等边三角形∴AC=MC，CN=CB

且∠ACM=∠BCN=60º∴∠ACN=∠MCB∴△ACN≌△MCB∴AN=BM；(2)已证△ACN≌△MCB,可得∠ANC=∠MBC又CN=CB，∠BCF=∠NCE=60º∴△BCF≌△NCE∴CE=CF但∠ECF≠60º∴△CEF为等边三角形不成立．知识回想典例精析

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小结【课后训练

】

1.如图所示,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2求证：BC=DE

证明:∵∠1=∠2∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC即∠BAC=∠DAE∵AB=AD，AC=AE∴△ABC≌△ADE∴BC=DE

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课堂演习课后训练

小结ABCDE12【课后训练

】

2.如图,AE⊥AB,AD⊥AC,AB=AE,∠B=∠E求证:(1)BD=CE；(2)BD⊥CE

证明:(1)∵AE⊥AB,AD⊥AC∴∠BAE=∠CAD∴∠BAD=∠CAE而AB=AE,∠B=∠E∴△ABD≌△AEC∴BD=CE．(2)由△ABD≌△AEC知∠B=∠E．而∠AGB=∠EGF∴∠EFG=∠EAB=90º∴BD⊥CE．知识回想典例精析

课堂演习课后训练

小结【课后训练

】

3.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．(1)求证：BG＝CF．(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，

并阐明理由．证明:(1)∵AC∥BG∴∠GBD＝∠C在△GBD与△FCD中

∠GBD＝∠C

BD＝CD

∠BDG＝∠CDF∴△GBD≌△FCD∴BG＝CF知识回想典例精析

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小结GFEDCBA【课后训练

】

3.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．(1)求证：BG＝CF．(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，

并阐明理由．知识回想典例精析

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小结(2)BE+CF＞EF，理由:∵△GBD≌△FCD(已证)∴GD＝FD在△GDE与△FDE中

GD＝FD

∠GDE＝∠FDE＝90°

DE＝DE∴△GDE≌△FDE(SAS)GFEDCBA∴EG＝EF∵BE+BG＞GE∴BE+CF＞EF【课后训练

】

*4.(2012•枣庄)已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90º,