简明理论力学课件 13动能定理

简明理论力学动力学第三篇第十四章动能定理Work-energyprinciple动能定理的简史1686年，莱布尼兹提出用mv2来表示物体的运动量，称为“活力”，并提出活力定律；1743年，达朗贝尔在《论动力学》一书指出，“活力”是从力的作用距离的角度描述了物体的运动量。1807年，“能量”一词出现在托马斯·杨（ThomasYoung,1773—1829）的著作《自然哲学讲义》中，用“能量”称呼mv2

。4.1820年代，科里奥利（G.G.Coriolis）引进了“功”的概念，并给出了动能的正确形式：mv2/2。

——-武际可《力学史》2000年第十三章

动能定理13–1功的概念13–2一些常见力所做功的计算13–3动能13–4质点的动能定理13–5质点系的动能定理13–6关于动力学普遍定理的一些说明一、功概念及计算定义：力在位移方向上的投影与位移的乘积。

用“W

”表示。——功反映力关于一段路程的累积效应量1.常力的功或——

力的功为一代数量，无方向性。功的单位（SI）：13–1功的概念2.变力的功OxzyMrF——力的元功M1M2(1)变力的功等于力在曲线切线上的分量对弧长的曲线积分；(2)W的值一般与路径有关；(3)若曲线为分段光滑，则需分段积分。几点说明：13–2一些常见力所做功的计算一、重力的功1.质点重力的功OxzymgMM1M2z1z2h重力作功与路径无关，仅与起止位置有关。2.质点系重力的功其中：是质点系质心（重心）在始末位置的高度差。xO二、弹性力的功l0x任意位置时，弹性力代入功的解析表达式，有——k为弹簧的刚度系数M1M2式中，δ1、δ2

为始末状态弹簧的伸缩量。

——l0为弹簧的原长M1l0＋δ1M2可以证明，当弹性力的作用点作曲线运动时，上述公式同样成立。

弹性力做功的特点：与重力做功类似，与路径无关，仅与起止位置状态有关。约翰·哈里森（JohnHarrison）制造的最后一只钟表（1769年）三、滑动摩擦力的功sM1M2若φ等于常数，则摩擦力做功的特点：（1）恒为负值；（2）与路径有关。四、作用在定轴转动刚体上力的功当转过有限角度φ时，力F的全功当Mz

为常量时，则(1)作用在定轴转动刚体上的力的功率：(2)式（1）、（2）适用于力偶的情形。五、几类约束反力的功1.光滑固定面反力的功2.光滑固定铰链与轴承约束3.光滑中间铰链约束4.柔软而不可伸长的绳索约束理想约束的概念：——约束反力的元功之和恒等于零的约束1.光滑固定面2.光滑固定铰链与轴承3.光滑中间铰链六、

刚体内力的功刚体内任意两点A、B间的相互作用力为两点的微小位移为则元功之和为由刚体的性质，有及

整个刚体的内力系元功之和恒等于零。注意：变形体的内力作功之和一般不为零。P七、

滚子（轮子）沿固定面做纯滚动时滑动摩擦力的功PP点为瞬心：因此：轮子做纯滚动时，接触处摩擦力不做功。小结1.功的定义：力在位移方向上的投影与位移的乘积。——功反映力关于一段路程的累积效应。2.变力的功——力的元功3、理想约束：约束反力的元功之和恒等于零的约束。思考题：Ts如图圆轮，重P，半径为R

和r，做纯滚动；拉力T

与水平线成α角，轮与支承面间的静摩擦因素为f。试求当轮心C

移动距离s

过程中所有力的功。例1：Ts如图圆轮，重P，半径为R

和r，做纯滚动；拉力T

与水平线成α角，轮与支承面间的静摩擦因素为μ；试求当轮心C

移动距离s

过程中所有力的功。解：分析做功的力：P、F、FN

均不做功拉力T的功：注意：

轮子做纯滚动时，接触点处的滑动摩擦力不做功。13–3动能一、质点的动能M质点M：m、v

，其动能定义为（1）瞬时量；（2）恒正的标量，无方向性；（3）动能的单位（SI）：——

动能的单位与功的单位相同动能也是度量物体机械强弱的运动特征量（从能量的角度）二、质点系的动能1.一般质点系的动能n个质点质点Mi

:mi

、vi简记为：——质点系的动能等于各质点动能之和——

也适用刚体系统的动能计算2.刚体的动能(1)平动刚体的动能：对于平动刚体，有平动刚体的动能等同于质量为其总质量的质点的动能(2)定轴转动刚体的动能：定轴转动刚体任一点速度为：代入质点系动能的计算式，有Jz定轴转动刚体的动能等于其绕转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。(3)平面运动刚体的动能：设某瞬时平面图形的速度瞬心为P，角速度为ω，则有PCMi由质点系动能的表达式，有由转动惯量的平行轴定理，有

平面运动刚体的动能等于绕质心轴转动的动能与以质心速度平动动能之和。——

称为柯尼西定理注意：（1）平面运动刚体由两部分组成。（2）式中速度均为绝对速度。例：已知均质杆长L，质量为m，端点B的速度为v，则AB杆的动能为_________。解：ω杆AB——平面运动瞬心为P点，PC杆AB的动能：由速度瞬心法小结一、质点的动能动能也是度量物体机械强弱的运动特征量。二、质点系的动能三、

刚体的动能(1)对于平动刚体，有(2)定轴转动刚体的动能：(3)平面运动刚体的动能：思考题

图示均质杆，长

l，质量为m，杆与z轴夹角为α，转动角速度为ω，试求其动能。思考题参考解答z解：dxx微段dx的质量：微段dx的速度：微段dx的动能：杆的动能：13–4质点的动能定理

设质量为m

的质点M在力F的作用下，沿曲线从M1点运动到M2点，由牛顿第二定律有MM1M2

将其向轨迹的切线方向投影，有两边分别乘以ds

，有

等式左边可改写为或记为质点动能的微分等于所受力的元功——

微分形式的质点动能定理MM1M2或记为——

微分形式的质点动能定理将式（*）两边积分，有或记为——积分形式的质点动能定理

质点的动能在某一力学过程中的增量，等于质点所受力在此过程中所做的功。将式（*）两边同除以dt

，有

质点的动能随时间的变化率，等于质点所受力的瞬时功率。——质点的功率方程（*）13–5质点系的动能定理1.质点系动能定理的微分形式Mi质点系中质点Mi所受的力分为——

外力——内力由质点的动能定理，有外力的元功内力的元功将上式两边相加，有质点系动能因此，有——

微分形式的质点系动能定理表述：质点系动能的微分等于质点系所受外力和内力的元功之和一、质点系动能定理2.质点系动能定理的功率形式（质点系功率方程）将上述微分形式两边同除以dt

，有

质点系动能随时间的变化率，等于质点系所受外力和内力的功率之和3.质点系动能定理的积分形式将式（12-30）两边积分，有:

质点系动能在某一力学过程中的增量，等于质点系所受外力和内力在此过程中所做功的代数和。注意：质点系内力的功之和一般不为零4.理想约束下质点系动能定理将作用于质点系上的力分为：主动力FFi

、约束反力FNi

、其功之和表示为：理想约束时所以有：主动力元功反力的元功

对摩擦力，弹性力等，将其视为主动力计算其功。二、质点系动能定理的应用（1）已知力（主动力），求系统的运动求速度（v、ω）——用积分形式。求加速度（a、α）——用积分形式对时间求导或微分形式。（2）已知系统的运动，求做功的力。（3）列写质点系运动微分方程。理想约束下质点系动能定理优越性：①不必考虑各物理量的方向性；②理想约束下不涉及未知的反力；③无论系统多复杂，总是整体考虑。限制性：①只能列出一个方程，故只能求解一个未知量；②两状态间能量有突变，或转化为其他形式能的情形时，不适用（碰撞等）。二、质点系动能定理的应用理想约束下质点系动能定理提升装置如图。ABHMrArB已知卷扬机鼓轮A：定滑轮（天轮）B：重物：Q开始静止，不计轴承摩擦、绳的重量及伸长。求：重物从地面上升至高度H时，重物的速度与加速度。解：(1)研究对象——整体；(2)分析运动,计算动能；初始：上升至H时：运动学关系：代入T(3)分析做功的力，计算所有力的功；Q例：ABHMrArB解：Q(4)代入动能定理求解；（1）Q开始静止，不计轴承摩擦、绳的重量及伸长。求：重物从地面上升至高度H时，重物的速度与加速度。例1：ABxMrArBQ求加速度时，其中一个状态必须是任意状态。即T

必须是任意状态的动能。设任意瞬时，重物上升高度为x，则所有力的功为:（2）将上式两边同时对时间求导，有动能定理应用要点：（1）分析运动计算系统动能；（2）分析做功的力，计算所有力的功；（3）利用运动学关系，将动能和功用一个运动量和几何量（所求量）表示；小结1.质点系动能定理的微分形式2.质点系动能定理的功率形式（质点系功率方程）3.质点系动能定理的积分形式4.理想约束下质点系动能定理5.求解动力学问题时，我们往往要综合应用质点系动能定理和其他动力学定理。OACBP已知：轮O质量为m，P，f

。初始静止。试求：轮O移动距离s时轮的角速度、角加速度。思考题OCBPOACBPFFTFNmg

参考解答：取轮O为研究对象主动力的功：由动能定理得：

13–6关于动力学普遍定理的一些说明内容：

物体或物体系统的运动特征量（动量、动量矩、动能）与力的作用量（冲量、功）之间的关系。理论基础：动力学基本方程（牛顿第二定律）。一、普遍定理概述共性与个性：

动力学普遍定理从不同侧面反映机械运动的规律。动力学普遍定理动量定理动量矩动量动能定理动量方法能量方法共性：——表现在某些问题可用不同的定理求解。个性：——有些问题只能用用某个定理求解。如：轴承反力只能由质心运动定理求解。——复杂问题需几个定理联合求解。三、普遍定理综合应用（1）一题多解；（2）解一个题目需要用到多个不同的定理，以便求出不同的项目；（3）解一个题目需要用到多个不同的定理，以便求出一个的项目。均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物A带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度OAW例：分析：（1）可以用动量矩定理；（2）可以用定轴转动微分方程；（3）可以用动能定理。提升装置如图。ABHMrArB已知卷扬机鼓轮A：定滑轮（天轮）B：重物：Q开始静止，不计轴承摩擦、绳的重量及伸长。求：重物从地面上升至高度H时，重物的速度与加速度。Q例：分析：（1）用动能定理求重物的速度、加速度等运动量；（2）可以用定轴转动微分方程和质点运动微分方程求绳子张力；（3）可以用质心运动定理求轴承处的反力。均质圆盘O放置在光滑的水平面上，质量为m，半径为R，匀