遵义市高一下学期数学期末考试练习题及答案解析

遵义市南白中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】由已知，故.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【详解】命题“，”为全称命题，则其否定为“，”.3.已知角的终边经过点，则（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【详解】设点P到坐标原点的距离为，则.4.一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设扇形的半径为，圆心角的弧度数为，结合扇形的弧长、面积公式列方程组求解即可.【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为（），由题意可得方程组：

，解得，，因此该扇形的圆心角弧度数为，故A正确.5.已知为单位向量，，，则在上的投影数量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算向量的模长，对两边平方求出，再代入投影数量公式计算即可.【详解】由，可得，已知，将等式两边平方并展开得，又因为，所以解得；则在上的投影数量为，故B正确.6.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二倍角公式及同角的三角函数关系求解即可.【详解】因为，故，则原式.7.已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，结合诱导公式确定每个选项对应函数解析式，先由图象的周期进行排除不符合的选项，再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项，从而找出正确的选项即可．【详解】若，则，，，，由已知图象可知，右图的周期是左图函数周期的，从而可排除选项B，C；对于选项A，，当时函数值为，从而排除选项A.故选：D．8.已知，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，将目标式转化为的模长的二次函数，配方求最值，并验证等号成立条件.【详解】设，则由题设知，且.于是.由向量数量积的性质得，所以.令

，

.该二次函数在处取得最小值.等号可验证成立：当，且与同向，时，.因此的最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得2分或4分，有选错的得0分．9.下列等式计算正确的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用三角恒等变换公式依次化简选项即可求解.【详解】对于A，，故A错误；对于B，,故B正确；对于C，,故C正确；对于D，,故D正确.10.已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A.若与互斥，则B.若，则事件与相互独立C.若发生时一定发生，则D.【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错；对于B，因为，，则，因为，所以事件与相互独立，故B对；对于C，若发生时一定发生，则，则，故C不对；对于D，，因为，，所以，故D正确.11.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则（）A.的最小正周期为4B.的图象关于点对称C.为奇函数D.的解集为【答案】ACD【解析】【分析】根据已知得到的图象关于直线、对称，进而得到的最小正周期为4，利用奇偶性和周期性依次判断各项的正误即可.【详解】因为

是定义在上的偶函数，所以，即，函数的图象关于直线对称，因为，所以，函数的图象关于点中心对称，由，令，则，因为，即，所以，即，进一步得，所以是函数的一个周期，若存在更小的正周期，则，而上，结合其对称性，在上的唯一解是，故不存在小于的正周期，最小正周期为，A正确，由，则，由于，显然不恒为，因此图象不关于对称，B错误，令，则，且，由得，由得，因为，所以，即为奇函数，C正确，当时，，结合函数的对称性，当时，函数表达式为，此时，即，解得，结合最小正周期为，解集为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，，若，则__________．【答案】【解析】【分析】计算的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程求解即可.【详解】因为，，则.又，则

.即

，整理得，解得.13.已知函数，则__________．【答案】【解析】【详解】因为，所以.14.已知外接圆圆心是，两条边上的高线相交于点，是内一点，且满足，则__________．【答案】【解析】【分析】设外心为原点，由重心性质得三顶点向量和，证明该向量对应点即为垂心，从而建立向量关系，求得比值.【详解】设为原点，记.由于在同一圆上，则.由题意，所以.即①.取点

，使，则，于是.因此

，同理可得

，所以

就是三角形

的垂心

.故.结合①得，从而.因此.​四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图求出的值，并用样本数据估计该校学生周平均课外阅读时间的分位数；（2）用分层抽样的方法从，两组中抽取人，再从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率．【答案】（1），分位数为（2）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图面积之和为求出的值，根据累计频率确定分位数所在区间并列方程求解；（2）根据频率比确定分层抽样各组抽取人数，利用古典概型概率公式计算即可．【小问1详解】由频率分布直方图可知，，解得，前组的频率之和为，前组的频率之和为，所以分位数位于第组，设分位数为，则，解得，所以该校学生周平均课外阅读时间的分位数为；【小问2详解】由频率分布直方图可知，组的频率为，组的频率为，两组频率之比为，利用分层抽样的方法从这两组中抽取人，则从组中抽取人，记为，从组中抽取人，记为，从这人中随机选出人，样本空间，共个样本点，其中人恰好在同一组的为，共个样本点，所以所求概率为．16.（1）计算；（2）已知．（ⅰ）化简；（ⅱ）关于的方程有解，求的取值范围．【答案】(1)(2)(ⅰ)，定义域；(ⅱ)【解析】【分析】（1）由对数的运算性质和幂的运算性质可直接得到计算结果；（2）（i）由诱导公式可直接得到化简结果，注意求函数的定义域，需要考虑分母不为零和正切函数自身的定义域；（ii）运用“参变分离法”，原方程有解就是新方程有解，求函数的值域即可解决问题.【详解】（1）；（2）（i），其中，，所以，即，其定义域为；（ii），由题意可知，方程有解，令，则的取值范围就是函数的值域，，令，则且，于是可化为，所以且，所以函数的值域为，即的取值范围是.17.已知，（，），函数，若的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递减区间，最值和最值点．【答案】（1）（2）单调递减区间为；最大值为，最大值点为；最小值为，最小值点为【解析】【分析】（1）由平面向量数量积的计算公式和三角恒等变换的“二倍角公式”、“辅助角公式”即可求出函数的解析式；（2）使用三角函数的“整体代换法”，将函数化归为，结合函数的图象和性质即可求出函数的单调递减区间、最值和最值点.【小问1详解】，因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，所以，所以，因为，所以，即函数的解析式为；【小问2详解】令，，则，，所以函数的单调递减区间为，当，即时，取得最大值，最大值为；当，即时，取得最小值，最小值为；所以函数的最大值为，最大值点为；最小值为，最小值点为.18.已知，.（1）求和的值；（2）若，为锐角，求的值；（3）若，为锐角，求角.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）先利用同角基本关系式和的范围求，接着利用二倍角公式求；（2）先求，再利用得解；（3）利用二倍角正切公式得，再求，结合角的范围得解.【小问1详解】因为，且所以，又，所以，因此，；【小问2详解】因为，，所以，又，则，则，则，所以；【小问3详解】因为，，则，且，则，又，所以.19.（1）证明：（ⅰ）（ⅱ）（2）利用及（1）的恒等式证明：（3）化简或求值：.【答案】（1）（i），