考研数学线代真题技巧试题及答案

考研数学线代真题技巧试题及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数。2.若A为n阶可逆矩阵，则det(A)≠0。3.齐次线性方程组Ax=0一定有零解。4.若向量组α1,α2,α3线性无关，则α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关。5.实对称矩阵的特征值一定是实数。6.若A可对角化，则A的特征向量可以构成一组基。7.非齐次线性方程组Ax=b的解集是Ax=b的一个特解加上对应齐次方程Ax=0的解集。8.行列式按某一行展开，其代数余子式与该行元素相乘之和等于行列式本身。9.若A为正定矩阵，则其所有特征值均为正数。10.初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵。二、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.设A为3阶矩阵，det(A)=2，则det(3A)等于（）。A.6B.8C.18D.542.下列哪个向量组是线性无关的？（）A.(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)B.(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)C.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)D.(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)3.矩阵A=（123；456；789）的秩为（）。A.1B.2C.3D.44.若A为n阶矩阵，且A^2=A，则A的特征值可能为（）。A.0B.1C.-1D.以上皆可5.实对称矩阵A的特征值λ1,λ2,λ3满足λ1≥λ2≥λ3，则二次型f(x)=x^T(Ax)在单位球x^Tx=1上的最大值为（）。A.λ1B.λ2C.λ3D.λ1+λ2+λ36.若A为可逆矩阵，则(A^T)^-1等于（）。A.A^-1B.(A^-1)^TC.AD.A^T7.齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是（）。A.det(A)=0B.A可逆C.A的秩小于nD.A的特征值全为零8.若向量α=(1,2,3)与β=(1,-1,1)线性相关，则k的值为（）。A.1B.-1C.2D.-29.行列式D=（123；014；002）的值为（）。A.2B.4C.8D.1210.若A为正定矩阵，则det(A)等于（）。A.正数B.负数C.零D.可正可负三、多选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.下列哪些命题是正确的？（）A.若A可逆，则det(A^-1)=det(A)^-1B.若A和B可逆，则AB也可逆C.若A的秩为n，则A为可逆矩阵D.若A的行列式为零，则A不可逆2.下列哪些向量组是线性无关的？（）A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)B.(1,1,1),(1,2,3),(2,3,5)C.(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)D.(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)3.若A为n阶矩阵，且A^3=A，则A的特征值可能为（）。A.0B.1C.-1D.24.下列哪些矩阵是可对角化的？（）A.实对称矩阵B.特征值互异的矩阵C.幂等矩阵D.非奇异矩阵5.下列哪些命题是正确的？（）A.若A可逆，则A的转置矩阵A^T也可逆B.若A的秩为n，则A的行向量组线性无关C.若A的行列式为零，则A的列向量组线性相关D.若A的秩小于n，则Ax=0有非零解6.下列哪些向量是线性相关的？（）A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)B.(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)C.(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)D.(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)7.下列哪些矩阵是正定矩阵？（）A.实对称且特征值全为正的矩阵B.可逆矩阵C.满足Ax=b有唯一解的矩阵AD.满足x^T(Ax)>0对所有非零x成立的矩阵8.下列哪些命题是正确的？（）A.若A可逆，则det(A^-1)=det(A)^-1B.若A和B可逆，则AB也可逆C.若A的秩为n，则A为可逆矩阵D.若A的行列式为零，则A不可逆9.下列哪些向量组是线性无关的？（）A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)B.(1,1,1),(1,2,3),(2,3,5)C.(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)D.(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)10.下列哪些矩阵是可对角化的？（）A.实对称矩阵B.特征值互异的矩阵C.幂等矩阵D.非奇异矩阵四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.简述矩阵的秩与其行向量组线性无关性的关系。2.简述实对称矩阵的特征值性质。3.简述非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件。4.简述初等矩阵的性质及其与初等变换的关系。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.设A=（123；456；789），求A的秩，并判断A是否可逆。2.设向量组α1=(1,0,1),α2=(0,1,1),α3=(1,1,2)，判断其线性相关性，并求其秩。3.设实对称矩阵A=（21；12），求其特征值和特征向量。4.设非齐次线性方程组Ax=b为（121；213；314），求其解，若有无穷多解，求其通解。【标准答案及解析】一、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√二、单选题1.C2.C3.B4.D5.A6.B7.A8.A9.C10.A三、多选题1.ABD2.AC3.ABCD4.ABCD5.ACD6.BCD7.AD8.ABD9.AC10.ABCD四、简答题1.简述矩阵的秩与其行向量组线性无关性的关系。答：矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数，也等于其行向量组的极大线性无关组所含向量的个数。若矩阵的秩为r，则其行向量组中存在r个线性无关的向量，其余向量均可由这r个向量线性表示。2.简述实对称矩阵的特征值性质。答：实对称矩阵的特征值一定是实数，且其不同特征值对应的特征向量正交。实对称矩阵一定可对角化，即存在正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵。3.简述非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件。答：非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是增广矩阵(A|b)的秩等于系数矩阵A的秩，即rank(A|b)=rank(A)。4.简述初等矩阵的性质及其与初等变换的关系。答：初等矩阵是单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。初等矩阵左乘一个矩阵A，相当于对A进行相应的初等行变换。初等矩阵是可逆的，其逆矩阵仍是初等矩阵。五、应用题1.设A=（123；456；789），求A的秩，并判断A是否可逆。解：对A进行行变换化为行阶梯形矩阵：（123；456；789）→（123；0-3-6；0-6-12）→（123；0-3-6；000）秩为2，小于3，故A不可逆。2.设向量组α1=(1,0,1),α2=(0,1,1),α3=(1,1,2)，判断其线性相关性，并求其秩。解：构造矩阵A=（101；011；112），求其秩：（101；011；112）→（101；011；011）→（101；011；000）秩为2，向量组线性相关。3.设实对称矩阵A=（21；12），求其特征值和特征向量。解：特征方程det(A-λI)=0，即（2-λ）(2-λ)-1=λ^2-4λ+3=0，解得λ1=1,λ2=3。对应λ1=1，解(A-I)x=0，得特征向量(1,-1)。对应λ2=3，解(A-3I)x=0，得特征